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差值里的龙格现象实验临床八年1004张馨予2204100412实验任务：由书上例子2.2和2.3表明适当的提高多项式的次数，有可能提高插值的精度，但是绝对不可能由此认为插值多项的次数越高越好。此次试验的任务便是验证差值多项式里的龙格现象。二．算法设计：对函数f(x)=1/(1+25*x*x),(-1=x=1).先以xi=-1+2/5i(i=0,1,2,…,5)为节点做五次插值多项式P5(x)，再以xi=-1+1/5i(i=0,1,…,10)为节点做十次插值多项式P10(x)，并将曲线f(x)=1/(1+25*x*x),y=P5(x),y=P10(x)，在区间[-1,1]上，描绘在同一个坐标系。程序设计，对于插值法，首先计算lagrange差值基本函数lk(x)。再写出满足差值条件的n次插值多项式Ln(x)=yl(x)的总和。三．计算机程序：1．求5个点对应y值的m文件function y=flongge2x=-1:0.4:1for i=1:length(x)y(i)=1/(1+25*x(i)*x(i));enddisp(y)2.求10个点对应y值的函数文件function y=flongge2x=-1:0.2:1for i=1:length(x)y(i)=1/(1+25*x(i)*x(i));enddisp(y)3. 差值里的龙格现象function f=Language(x,y,x0)syms t;if(length(x)==length(y)) n=length(x);elsedisp(xand y are not of the same demision);return;endf=0.0;for(i=1:n) l=y(i);for(j=1:i-1) l=l*(t-x(j))/(x(i)-x(j));end;for(j=i+1:n) l=l*(t-x(j))/(x(i)-x(j));end; f=f+l; f=simplify(f);if(i==n)if(nargin==3) f=subs(f,t,x0)else f=collect(f); f=vpa(f,6);endendend并在命令编辑器里输入x y 矩阵，以及f=Language(x,y)4.龙格总图的m文件functiontu=longgezongtufplot(-220.940*t^10+494.907*t^8-381.433*t^6+123.360*t^4-16.8552*t^2+1.,[-1,1]),holdon;fplot(1/(1+25*x*x),[-1,1]), hold on;fplot(1.20199*t^4-1.73079*t^2+.567309,[-1,1],1e-4),grid四．调试以及运行结果在命令编辑器里输入flongge2，得到十个点的对应y值：（截的图）输入f，得到五个点对应的y值：在命令编辑器里输入x矩阵，和y矩阵，以及f=Language(x,y)，就会得到对应的两个差值公式:y=-220.940*t^10+494.907*t^8-381.433*t^6+123.360*t^4-16.8552*t^2+1.y=1.20199*t^4-1.73079*t^2+.567309根据这两个公式编出可以输出图的程序。在命令编辑器里输入longgezongtu,按下回车，得到图五．结果分析由图可以看出，虽然在局部范围内，如区间[0.2,0.2]中，P10(x)比P5(x)更好的逼近f(x),但从整体上，P10(x)并非是处处比P5(x)更好的逼近f(x)，尤其是在区间[-1,1]的两个端点的附近。在大范围内使用高次插值法，逼近的效果可能不理想。另一方面，差值误差除了来自截断误差之外，还来自初始数据的误差和计算过程中的舍入误差，差值次数越高，计算量越大，积累误差就越大。六．实验心得：其实在老师所给的三个题目当中选择“插值法中的龙格现象”，并不是初衷，因为这个涉及到编写4个m文件，任务比较繁多。但是最终还是想挑战一下，当最后龙格现象总图的对话框跳出的时候，那种发自内心的成就感让我觉得这个选择是正确的。通过这次试验，我觉得受益最大的就是对逻辑思维的又一次练习。我的思路是这样逆推的：要想做出龙格现象的图，就要输入三个图像的函数，其中有一个是已知的，另外两个需要用插值法得出函数。而得出函数需要输入x的5组或者10组数据以及对应的y值。而这些值需要用原函数算出。其次，就是在理清这些思路之后，编写程序，实话实说，把书上的以公式形式给出的插值法转化成编程语言并非易事，但是根据书上的思路，先做出朗格朗日基本式，再写出插值函数即可，我们需要做