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“糖水不等式”及其应用 摘要本文首先挖掘了“糖水不等式”的生活原型，接着详细介绍了此不等式的三种证明 方法 ，最后用“糖水不等式”证明了三道高考题。通过本文重在启发大家：在以后 学习 中，不仅掌握知识本身，还要多体会知识产生、 发展 的背景、及其 应用 ，以达到举一反三、融会贯通的目的；从而的出思考与反思史学系的必要环节。 关键词糖水不等式 我们在小学曾对不等式[SX(]12[SX)]＜[SX(]23[SX)]＜[SX(]34[SX)]＜[SX(]45[SX)]＜…记忆犹新，今天学到了高中数学不等式这一章，我们联想到这一不等式能不能推广？推广形式如何？下面就是它的推广形式：“若a,b,mR+，且a＜b，求证：[SX（]ab[SX)]＜[SX(]a+mb+m[SX)]（*）。” 上述不等式在高中数学人教版必修5第87页的例1中出现，并做了严谨证明。相信大家对这一不等式并不陌生。此不等式不仅有着丰富的现实生活背景；而且在比较大小、及证明不等式中都有着重要的作用。 一、不等式（*）的生活原型 生活原型1：b克糖水中含有a克糖，加入m克糖后糖水变甜，试用一 不等式描述这一现象：[SX(]ab[SX)]＜[SX(]a+mb+m[SX)]＜1 由于此生活原型生动直观的刻划了不等式[SX(]ab[SX)]＜[SX(]a+mb+m[SX)]＜1，所以此不等式又戏称为“糖水不等式”。 生活原型2：建筑民用住宅时，一般情况下，民用住宅的窗户总面积小于该住宅的占地面积。窗户的总面积与占地面积的比值越大，住宅的采光条件越好。问同时，增加相等的窗户，面积与占地面积，住宅的采光条件变好了还是变差了？ 解：设a,b分别表示住宅原来窗户的总面积和占地面积的值， 表示窗户和占地所增加的面积的值，（单位相同）， 由题意得：住宅的采光条件变好还是变差， 取决于[SX(]ab[SX)]与[SX(]a+mb+m[SX)]值的大小 作差法：[SX(]ab[SX)]-[SX(]a+mb+m[SX)]=[SX(]ab+am-ba-bmb(b+m)[SX)]=[SX(](a-b)mb(b+m)[SX)] 因为a,b,m＞0，且a＜b，所以[SX（]（a-b)mb(b+m)[SX)]＜0 所以[SX(]ab[SX)]＜[SX(]a+mb+m[SX)] 故增加相等的窗户，面积与占地面积，住宅的采光条件变好了。 二、“糖水不等式”的证明 此题的证明方法很多，例如（1）作差法（2）作商法（3） 分析 法（4）综合法（5）构造函数法（6）定比分点公式法等等。 在这里有重点地介绍以下三种方法： 证法1：分析法：要证[SX(]ab[SX)]＜[SX(]a+mb+m[SX)] 只要证a(b+m)＜b(a+m)， 即证am＜bm,(m＞0) 而a＜b显然成立 证法２：构造函数法：f(x)=[SX(]a+xb+x[SX)]=[SX(]b+x-b+ab+x[SX)]=1+[SX(]a-bb+x[SX)] 因为a-b＜0，所以函数f(x)在(-b,+∞)上单调增 故f(0)＜f(m)，即[SX(]ab[SX)]＜[SX(]a+mb+m[SX)] 证法3：（利用定比分点公式法） 〖TPP0707.TIF,BP〗 [SX(]a+mb+m[SX)]=[SX(C][SX(]am[SX)]+11+[SX(]bm[SX)][SX)]=[SX(C]1+[SX(]bm[SX)]·[SX(]ab[SX)]1+[SX(]bm[SX)][SX)]，令λ=[SX(]bm[SX)]＞0,x1=1,x2=[SX(]ab[SX)] 由定比分点公式得[SX(]ab[SX)]＜[SX(]a+mb+m[SX)]＜1。结论得证。 三、“糖水不等式”在比较大小、及证明不等中的应用 例１（１）若a,b,mR+，且a＜b，则[SX（]ab[SX)],[SX(]a+mb+m[SX)][SX(]ba[SX)],[SX(]b+ma+m[SX)]从小到大的顺序为[CD#4] 解：由“糖水不等式”得：[SX(]ab[SX)]＜[SX(]a+mb+m[SX)]＜1，而[SX(]b+ma+m[SX)]＞1 故[ZZ(Z][SX(]ab[SX)]＜[SX(]a+mb+m[SX)]＜[SX(]b+ma+m[SX)][ZZ)] （２）若a,b,m,c,dR+，且[SX（]ab[SX)]＜[SX(]cd[SX)]，则[SX（]ab[SX)],[SX(]a+cb+d[SX)][SX(]cd[SX)]从小到大的顺序为[CD#4] 解：设糖水1和2的浓度分别为[SX(]ab[SX)]＜[SX(]cd[SX)]，