函数的单调性21.pptxVIP

设函数 f(x) 的定义域为 I : 一、函数的单调性 　　注: 函数是增函数还是减函数是对定义域内某个区间而言的. 有的函数在一些区间上是增函数, 而在另一些区间上可能是减函数. 如果对于属于定义域 I 内某个区间上的任意两个自变量的值 x1, x2, 当 x1x2 时, 都有 f(x1)f(x2), 那么就说 f(x) 在这个区间上是增函数; 如果对于属于定义域 I 内某个区间上的任意两个自变量的值 x1, x2, 当 x1x2 时, 都有 f(x1)f(x2), 那么就说 f(x) 在这个区间上是减函数. 如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数, 那么就说函数 y=f(x) 在这一区间上具有(严格的)单调性, 这一区间叫做函数 y=f(x) 的单调区间. 二、单调区间 1.取值: 对任意 x1, x2∈M, 且 x1x2; 三、用定义证明函数单调性的步骤 ③在单调区间上, 增函数的图象自左向右看是上升的, 减函数的图象自左向右看是下降的. 2.作差: f(x1)-f(x2); 3.判定差的正负; 4.根据判定的结果作出相应的结论. 注: ①函数的单调区间只能是其定义域的子区间; ②函数的单调区间是连续区间, 若区间不连续, 应分段 考查. 复合函数 f[g(x)] 的单调性与构成它的函数 u=g(x), y=f(u) 的单调性密切相关, 其规律如下： 函数 单调性 u=g(x) 增 增 减 减 y=f(u) 增 减 增 减 y=f[g(x)] 增 减 减 增 四、复合函数的单调性 五、函数单调性的判定方法 1.定义法: 主要适用于抽象函数或已知函数.　 2.导数法: 适用于具体函数. 3.图像法: 4.复合函数单调性的判定: 5.和函数单调性的判定: 6.奇偶性: 7.反函数:　 奇函数在对称区间上具有相同的单调性; 偶函数在对称区间上具有相反的单调性. 互为反函数的两个函数在各自的定义域上具有相同的单调性. 六、两类问题的区别 1.函数 f(x) 的单调递增(或递减)区间是 D: 2.函数 f(x) 在区间 D 上单调递增(或递减): 不等式 f (x)0(0) 的解集是区间 D; 不等式 f (x)≥0(≤0) 对于 xD 恒成立. 若函数 f(x) 可导, 解: ∵函数 f(x) 的定义域为(-∞, 0)∪(0, +∞), 典型例题 　　 ②求函数的单调区间是单调性学习中的最基本的问题, 但必须注意, 如果函数的解析式含有参数, 而且参数的取值影响函数的单调区间, 这时必须对参数的取值进行分类讨论. 注: ①这个函数的单调性十分重要, 应用非常广泛, 它的图象如图所示: 解: 函数 f(x) 的定义域为[-2, +∞), ①当 a≤0 时, f (x)0(x∈(-2, +∞)), ∴当 a≤0 时, 定义域[-2, +∞)为 f(x) 的单调递增区间; ∴4a2(x+2)1 4.设函数 f(x)=kx3+3(k-1)x2-k2+1. (1)当 k 为何值时, 函数 f(x) 的单调递减区间是 (0, 4); (2)当 k 为何值时, 函数 f(x) 在(0, 4)内单调递减. ∴不等式 f (x)0 的解集为(0, 4),　 ∴0 与 4 是方程 kx2+2(k-1)x=0 的两根, 即 kx2+2(k-1)x0 的解集为(0, 4), (2)命题等价于 kx2+2(k-1)x0 对 x(0, 4) 恒成立, 设g(x)=kx+2(k-1), 等价于 kx+2(k-1)0 对 x(0, 4) 恒成立, 由于 g(x) 的图象为一条直线, 解: 对 f(x) 求导得 f (x)=3kx2+6(k-1)x, (1)∵函数 f(x) 的单调递减区间是(0, 4), 5.已知 f(x)=8+2x-x2, 若 g(x)=f(2-x2), 试确定 g(x) 的单调区间. 解: g(x) 由 f(t)=8+2t-t2 及 t=2-x2 复合而得.　 ∵y=f(t)=8+2t-t2=-(t-1)2+9, ∴f(t) 的递增区间是 (-∞, 1], 递减区间是 [1, +∞). 当 x(-∞, -1] 时, t=2-x2 是增函数, 这时 t(-∞, 1], y=f(t) 是增函数. 故当 x(-∞, -1] 时, g(x)=f(2-x2) 是增函数; 当 x[-1, 0] 时, t=2-x2 是增函数, 这时 t[1, 2], y=f(t) 是减函数. 故当