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PowerPoint数学物理方法 第二篇第四章 分离变量法、本征函数法 宁夏大学物理电气信息学院 陈焕铭 张磬兰 沈乃录 汪燕青 秦君琴 文晓霞 Contents Click to edit title style Click to edit title style Click to edit title style Click to edit title style Click to edit title style Click to edit title style Click to edit title style Click to edit title style Click to edit title style Click to edit title style Click to edit title style Click to edit title style Click to edit title style Click to edit title style Click to edit title style Click to edit title style Click to edit title style Click to edit title style Click to edit title style Click to edit title style Click to edit title style Click to edit title style Click to edit title style Click to edit title style Click to edit title style Click to edit title style Click to edit title style Click to edit title style Click to edit title style Click to edit title style Click to edit title style Click to edit title style Click to edit title style Click to edit title style Click to edit title 齐次化原理 对于非齐次方程的初边值混合问题： 成立着齐次化原理. 齐次化原理：若 是初边值问题 的解（这里 为参数），则 就是上述初边值混合问题的解，证明从略. 对于 的问题，令 ，就化为 它的解用分离变量法得 §2.4.5 非齐次边界条件的定解问题的解法 对于非齐次边界条件的定解问题的解法，应先将边界条件齐次化， 把定解问题转化为齐次边界条件，用前面叙述的方法求解. 例10. 设 令 易得 即得 这样，若 是这个定解问题的解，那么 满足定解问题 这个问题就可以用本征函数法或齐次化原理求解. 现在给出几种边界条件下对应的函数 的表达式. （1）若 可取 （2）若 则取 （3）若 则取 （4） Company Logo LOGO §2.4.1一维有界区域齐次方程齐次边界条件 混合问题的分离变量法 以弦的横振动为例，设弦长为l，两端固定的一维自由振动的混合问题是 设问题有变量分离形式的解 代入方程，分离变量得到 从而得到两个常微分方程 对齐次边界条件也有 由于求非零解，所以 ，只有 由此得到关于X(x)的施斗姆-刘维尔本征值问题 （1） 不是本征值 （2） 不是本征值 （3） 时，方程的通解为 由 得 C=0 时得 由于求问题的非零解，所以 . 只有 从而得到问题的可列个本征值 对应的本征函数 现将本征值 代入关于T(t)的方程得到 它的通解为 从而得到变量分离状态的解，称之为驻波 按照叠加原理，将可列个驻波解叠加得到 于是由 得 注意到本征函数系 ，在 上是正交的完全的函数系，且 故而有 同理由 有 所以 因此分离变量法又叫傅立叶解法 例 解 解本征值问题 C =0 为了得到非零解， 令 ，有超越方程 于是得到可列个正根 (正切曲线 与直线 交点的横坐标) 因此得到本征值（可列个） 相应的本征函数为 把本征值 代入关于T(t)的常微分方程 §2.4.2 二维矩形薄板的齐次方程齐次边界条件 混合问题的分离变量法 例．边长为a, b的矩形薄板，两板面不透热，它的一边y=b为绝热， 其余三边保持零度温度.设板的初始温度分布是 试求板内的温度变化 解： 齐次边界条件分离变量后得 于是得到两个施斗姆-刘维尔本征值问题： 由初始条件得 从而得 例3. （圆的狄里克