第七讲非线性回归模型.PDFVIP

第七章 非线性回归模型 前面六章讲的各种回归模型，不管变量是一元还是多元、连续还是离散，不管误差是什 么形态，不管有没有什么约束，都是线性回归模型，即变量是以一次函数形态出现。这一章 我们将研究非线性回归模型。 经济模型本来就存在许多非线性形式，我们在第一章与第二章就曾经处理过“可以线性 化的非线性模型”，即经过简单函数变换后可以化为一元或多元线性回归模型的非线性回归 模型。但是在一般情况下，非线性模型难以精确线性化，这就需要予以特别的考虑。 一般的非线性回归模型可以表示为 ( ) Y f X ,β +ε （7.0.1 ） 这里X 是可观察的独立随机变量，β 是待估的参数向量，Y 是独立观察变量，它的平均数 依赖于 ε X 与β ， 是随机误差。函数形式f ( ·)是已知的。 Cobb-Douglas 生产函数是非线性回归模型的典型例子： β β 1 2 Q L K α +ε （7.0.2 ） 这里Q 是经济部门的产出，L 是劳动力投入，K 是资本投入，待估参数是α 、β 与β 。 1 2 β β ′ ′ f X ,β αL 1 K 2 定义Y Q ，X (L , K ) ，β (αβ, ,β ) ，以及 ( ) 1 1 ，则 Cobb-Douglas 1 2 生产函数就可以写为（7.0.1 ）的形式。 另一个例子是消费函数 β +β C +ε Y β3 （7.0.3 ） 1 2 这里 Y 是居民收入， C 是居民消费。其中参数β 的估计问题就很有必要。如果贸然假定 3 β 1 ，那就是线性函数了，可是实际数据也许会否定β 1 。 3 3 有些经济模型到底能不能线性化，取决于误差项的假定。例如 Cobb-Douglas 生产函数， 如果将误差假定为与函数部分相乘，即 β β ε Q αL 1 K 2 e （7.0.4 ） 则取对数后可以线性化： ln ln ln ln Q Lα+β K +β +ε （7.0.5 ） 1 2 272 另一方面，有些线性回归模型也可以视为非线性问题，例如广义最小二乘问题　 ( ) ( ) 2 Y X β ε, E + ε 0, εVar σ Ψ （7.0.6 ） 的极大似然