信号处理第5节.pptVIP

5.3 离散系统的系统函数 5.3.1 系统函数的定义 1、系统函数的引出 卷积 卷积运算量比较大，不过由于卷积运算在z域变为相乘关系，则有 把上式中的H(z)定义为系统函数，它是单位脉冲响应h(n)的z变换，或是z域零状态响应与激励的比值，即 当系统的差分方程给出时，设为 在零状态条件下，对上式两边取Z变换，系统函数为 2、线性时不变离散系统的三种描述方式 可以用以下三种方式描述线性时不变离散系统：差分方程，脉冲响应，系统函数，它们之间可以相互转换。 例5-15 已知 ，求系统函数和差分方程。 解 对h(n)取Z变换，传递函数为 给分子和分母同乘以 ，上式又可写成 交叉相乘得 则差分方程为 三、系统的z域框图 在实际应用中，往往根据系统的技术指标要求，首先确定出系统函数H(z)，再选用一种框图实现H(z)，最后，根据框图编写数据处理的算法和程序。z域框图与时域框图只在延迟环节的表示上有区别，如图5-6所示。为了便于比较，把图5-1重画在图5-6中。 例5-16 已知系统函数 试给出实现H(z)的框图及数据处理算法。 解 根据给定的系统函数，Y(z)可表示为 与该式对应的一种系统的z域框图如图5-7所示。 设两个延迟单元的输出分别为v(n)和w(n)，则有 在编写数据处理程序时，对每一给定的输入x(n)，按以下算法重复计算： 5.3.2 系统的稳定性和因果性 1、系统稳定性的时域判别法 如果对任一有界输入x(n)只能产生有界输出y(n)，则称系统是稳定的。 证明：根据卷积公式 当 时（其中M为实常数），若有 则系统稳定。 因此，系统稳定的充分条件（也可证明是必要条件）为 即离散时间系统稳定的充分必要条件是脉冲响应h(n)绝对可和。 对因果系统，上式求和从n=0开始，即 2、系统稳定性的z域判别法 根据Z变换的定义 如果系统是稳定的，上式为有限值，则H(z)在 即在单位圆上即处必收敛。 因此，离散线性时不变系统是稳定系统的充要条件是：系统函数的收敛域必须包含单位圆。对单边Z变换，H(z)的所有极点在收敛域的内圆以内，因而因果稳定系统时H(z)的所有极点必须位于单位圆内，如图5-6所示。 3、系统函数的零极点与时域响应的关系 如果从系统函数的极点与时域响应之间的对应关系考虑，对单极点p，其z域和时域响应分量分别为 如果极点p是二阶的，则有 当|p|1时，式（5-35）和式（5-36）响应分量的总趋势随n增大而衰减， 满足绝对可和条件。 当|p|1时，响应分量的总趋势随n增大而增大， ，不满足绝对可和条件。 当|p|=1时，也不满足绝对可和条件。 例5-16 系统的差分方程为 （2）分析此因果系统H(z)的稳定性； （1）求系统函数H(z)； （3）求单位脉冲响应h(n)。 解（1）对差分方程两边取Z变换，得 （2）H(z)的两个极点都在单位圆内，因此系统是稳定的。 （3）将H(z)/z展成部分分式，得 取逆变换，得单位脉冲响应 4、系统函数的收敛域与系统的因果性 对于线性时不变系统，如果它是因果系统，则要求它的单位脉冲响应满足条件 系统函数的所有极点都必须在单位圆内，这样的系统才能同时满足稳定性与因果性的要求。 这实际上是要求系统的单位脉冲响应h(n)为因果信号。由于系统函数H(z)是h(n)的Z变换，所以，根据Z变换的性质，h(n)是否为因果信号，与H(z)收敛域的情况有直接的关系，即离散线性时不变系统是因果系统的充要条件是：系统函数的ROC是某个圆外部的区域，且包括无穷远点。 5.3.3 系统的频率特性 1、离散系统的频率响应 离散时间系统在指数序列 输入下的响应。 设系统是因果的，单位脉冲响应为h(n)，根据卷积公式，响应 上式中括号中的项为H(z)在z=z0处的值，设H(z0)存在，于是 其中 该式说明，系统在指数序列输入条件下，响应也为指数序列，其权值为 它一般为复数，可用幅度和相位表示为 则 令z=ejΩ，即当z在单位圆0≤Ω≤2π上变化时，可得 其中 一般为复函数， H(ejΩ)随频率Ω的变化称为离散时间系统的频率响应，它给出了系统的频域描述。由式（5-44）可知，H(ejΩ)正好是该系统单位样值响应的离散时间傅里叶变换，同时它又是该系统的系统函数取z在单位圆上变化的结果。 |H(ejΩ)|称为幅频特性，而φ(Ω)称为相频特性。 2、系统幅频特性与选频滤波器 由于在z域，Y(z)=X(z)H(z)，当z=ejΩ时，可以得到系统在不同频率信号作用下响应的幅度为 * 信号分析与处理 * ■ 第5章 离散时间信号处理基础 第5章 离散时间信号处理基础 5.1 线性时不变离散