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PAGE PAGE 5 《证明二》1.3－1.4导学 安徽　明师 　　一、学习目标 　　1．掌握线段的垂直平分线的定理和逆定理及其应用．理解线段垂直平分线是到线段两端点距离相等的点的集合． 　　2．掌握角的平分线的性质定理和它的逆定理的内容、证明及应用． 　　3．理解原命题和逆命题的概念和关系，掌握角平分线定理及其逆定理，了解逆命题、逆定理的概念，知道原命题成立时，它的逆命题不一定成立；能利用角平分线的有关定理进行证明． 　　4．掌握线段垂直平分线的性质定理及其逆定理，能够利用它们进行论证． 　　5．渗透角平分线是满足特定条件的点的集合的思想． 　　二、重难点 　　重点：线段的垂直平分线的定理及逆定理； 　　难点：是线段的垂直平分线定理与逆定理的关系．角平分线的性质定理和逆定理的应用是重点．性质定理和判定定理的区别和灵活运用是难点． 　　三、重要知识点击 　　1．垂直于一条线段并且平分这条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线或中垂线. 　　2．从角的顶点出发的一条射线，将一个角分成相等的两个角，这样的射线叫做角的平分线． 　　3．线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等；到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上；即线段垂直平分线是到线段两端点距离相等的点的集合．解释：这个概括说明了线段垂直平分线上的点都具备“和线段两端距离相等”这一性质（点的纯粹性），又说明了具备“和线段两端点距离相等”这个性质的点都在这条线段的垂直平分线上（点的完备性）关于这个特征，和角的平分线的性质是类似的，我们可以对比记忆. 　　4．角的平分线上的点到角的两边距离相等；到角的两边距离相等的点在角的平分线上；即角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合． 　　5．作一条线段等于已知线段，作个角等于已知角，作角的平分线，作线段的垂直平分线，过已知点作已知直线的垂线． 　　6．把一个图形沿着某条直线折叠，如果它能够与另一 个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，两个图形中的对应点叫做关于这条直线的对称点，这条直线叫做对称轴，两个图形关于直线对称也称轴对称．如果一个图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴．对称是数学中的一个重要概念，轴对称是对称的一种．最常见的轴对称图形：直线、线段、角、等腰三角形、等边 三角形、及小学里学过的长方形、菱形、正方形、等腰梯形和圆． 　　四、学法指导 　　熟练掌握线段垂直平分线的性质定理及其逆定理，并能利用它们进行论证，线段垂直平分线的性质定理可以证明两边相等，其逆定理可以得到某点落在某线段的垂直平分线上，学习线段垂直平分线可以同学习角平分线相联系与对比．　　角平分线、线段垂直平分线的概念前面已学过它们的性质很重要，在几何里证明线段或角相等时，常常用到它们，同时又是几何作图的重要根据．刚刚学过的证明三角形全等的方法为证明它们创造了条件；应该认识这两个定理及其逆定理的作用，并记熟这四个结论．图形的轴对称可以看作是几何图形的一种运动，这种运动不改变图形的形状和大小，只改变图形的位置，利用这种运动可以把分散的几何元素．（线段、角、三角形等）集中起来，把隐含，松懈的关系明朗化，密切化，从而有助于解（证）题． 　 五．几点注记 　　1．判断线段的垂直平分线的方法 　　判断线段的垂直平分线除了运用定义之外，常常还可通过两点到线段两端点的距离分别相等，由线段垂直平分线的逆定理与直线公理，可得这两点所确定的直线就是这条线段的垂直平分线． 　　2．涉及角平分线问题时，常用的辅助线 　　涉及角的平分线问题时，常用辅助线有：①自角平分线上某一点向角的两边作垂线段，利用角平分线的性质来完成，②通过截长补短，从而构造两个全等的三角形，利用全等三角形的性质来完成． 　　3．逆命题、逆定理 　　在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题，如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题． 　　由“互逆命题”的定义易知，只要将一个命题的题设和结论互相调换位置，就可以得到这个命题的逆命题，例如命题“两条直线平行，内错角相等”的逆命题是“内错角相等，两直线平行”，命题“线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等”的逆命题是“和一条线段的两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上”． 　　对于题设和结论都只有一个具体事项的命题，只要调换题设和结论的位置，很容易得到原命题的逆命题．但是，对于题设和结论不都是只有一个具体事项的命题，要得到它的逆命题就比较复杂了．首先应认真分析命题的题设包含哪几个具体事项，结论包含哪几个具体事项，然后将题设和结论所述事项进行局部交换或全部交换，所得命题均为原命题