粒子在电磁场中的运动.docVIP

量子力学 主讲：孟庆田 使用教材：曾谨言《量子力学导论》 PAGE PAGE 13 第七章 粒子在电磁场中的运动 §7.1 电磁场中荷电粒子的Schrdinger方程 两类动量 一、荷电q粒子在电磁场中的Newton方程（经典描述） 质量μ，荷电q的粒子在电磁场中运动，其经典Hamilton为 ：电磁矢势， ：电磁标势， ：正则动量。 将上式代入正则方程，有 , 以x分量为例，有 第一式给出 对于,：正则动量；：机械动量。 可见，在有磁场的情况下，正则动量和机械动量并不相等。 将式微分，得 （第二步：将代入）（对t 微分） （第三步利用） （利用即） （第四步重新组合） 即 所以 式中电场强度 磁场强度 上式即为荷电q的粒子在电磁场中的Newton方程。式中右边第二项即Lorentz力，实践证明是正确的。 二、电磁场中荷电粒子的Schr?dinger方程 按照量子力学中的正则量子化程序，把正则动量换成算符，即 则电磁场中荷电q粒子的Hamiltonian算符可表为 因而Schr?dinger方程可表为 一般说来，，不对易，但是的函数，利用证明对易关系的一般方法可以证明 利用电磁波的横波条件 则上述第一方程可表为 三、讨论 1. 定域的几率守恒与流密度 将式 取复共轭，注意到在坐标表象中，则 第1式－第2式，注意，且与不是微分算符，得 令 式中 为粒子的速度算符。代入前式 得， 其中为几率密度，而为流密度算符。 此处非常类似当初引进S-方程时对定域几率守恒的讨论。 2. 规范不变性 在学习电动力学时知道，当矢势和标势作下列规范变换时 则电、磁场强度都不改变。利用 ，，及，很容易得到证明。 对牛顿方程 因为已证明电、磁场强度都不改变。其规范不变性是显然的。 但对下列S-方程 是否违反规范不变性？ 为解决这个问题，令， 其中可以验证 这说明，在对波函数作一定的相位变换后，S-方程仍满足规范不变性。 当然，亦可证明，当作以下变换后 物理量、， 以及仍保持不变。 §7.2 正常Zeeman效应 正常Zeeman效应： 把原子（光源）置于强磁场中，原子发出的每条光谱线都分裂为三条，此即正常Zeeman效应。 问题：谱线为啥可以分裂？ 1. 体系的哈密顿 研究对象：原子中的价电子 在原子大小范围内，磁场可视为均匀磁场，不依赖于电子的坐标。 设磁场为，则相应的矢势可取为 取磁场方向为z轴方向，则 ，， 对碱金属原子，每个原子中只有一个价电子，它在原子核及内层满壳层电子所产生的屏蔽库仑场中运动，则 式中 是角动量的 z 分量。 上式还比较复杂，我们看根据物理实际，能否化简？ 在原子中，， 实验室中的磁场强度，可以估算项相对于项的大小， 因此可略去B2项，即 上式右侧最后一项可以视为电子的轨道磁矩（）与外磁场(沿z方向)的相互作用。 2. 外加磁场后的能级分裂 对碱金属原子，考虑加外场前后的球对称及守恒量问题 属性 外加磁场前 加均匀磁场(沿z方向)后 总哈密顿 对称性 球对称 球对称性破坏 守恒量 (6.1.1)已证明 ，容易证明? 守恒量完全集 因此能量本征函数可以选为的共同本征函数，即 ， 相应的能量本征值为 而就是中心力场V(r)中粒子的Schr?dinger方程 的能量本征值。 显然加外场前后能级分裂情况是不一样的 属性 加外场前 加外场后 对称性 球对称性 球对称性破坏 能量本征值 简并度 能级简并全部消除 能级简并消除能级分裂发生 设分裂后的相邻能级间距为， 则——Larmor频率。且 由于能级分裂，相应的光谱线也发生分裂。 下图是钠原子光谱黄线在磁场中的正常Zeeman分裂。 无外磁场 加强磁场 原来的一条钠黄线(λ≈5893?)分裂成三条,角频率为w，w±wL。所以外磁场越强，则分裂越大。 作业：p216 2 第八章 自旋 §8.1 电子自旋 在讨论电子在磁场中的运动时，我们发现电子具有轨道磁矩 如有外场存在，则这一轨道磁矩所带来的附加能量为 显然是量子化的，它取个值 在较强的磁场下( 10T )，我们发现一些类氢离子或碱金属原子有正常塞曼效应的现象，而轨道磁矩的存在，能很好的解释它。 但是，当这些原子或离子置入弱磁场 ~1T的环境中，或光谱分辨率提高后，发现问题并不是那么简单，这就要求人们进一步探索。 大量实验事实证明，认为电子仅有三个自由度并不是完全正确的。我们将引入一个新的自由度—自旋，它是粒子固有的 。 1 电子自旋存在的实验依据 （1）Stern-Gerlach实验（1922年） 当一狭窄的S态银原子束通过非均匀磁场后，分为两束。见下图 分析： 当一狭窄的原子束通过非均匀磁场时，如原子无磁矩，它将不偏转；而当原子具有磁矩，那在