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第八章：平面向量的坐标表示简析 格致中学 朱兆和 一、向量发展简史 向量是近代数学中重要的和基本的概念之一，它是沟通代数、几何与三角函数的一种工具。向量在高中数学教材中的引入，不仅提供了一种新的研究数学的方法，而且在用向量处理数学问题中，也能充分体现数形结合、构造模型等的基本思想方法。深入在研究向量有利于学生的智力开发与激活学生的创新思维。 向量又称为矢量，最初被应用于物理学．很多物理量如力、速度、位移以及电场强度、磁感应强度等都是向量．大约公元前350年前，古希腊著名学者亚力士多德就知道了力可以表示成向量，两个力的组合作用可用著名的平行四边形法则来得到．“向量”一词来自力学、解析几何中的有向线段．最先使用有向线段表示向量的是英国大科学家牛顿。 课本上讨论的向量是一种带几何性质的量，除零向量外，总可以画出箭头表示方向．但是在高等数学中还有更广泛的向量．例如，把所有实系数多项式的全体看成一个多项式空间，这里的多项式都可看成一个向量．在这种情况下，要找出起点和终点甚至画出箭头表示方向是办不到的．这种空间中的向量比几何中的向量要广泛得多，可以是任意数学对象或物理对象．这样，就可以指导线性代数方法应用到广阔的自然科学领域中去了．因此，向量空间的概念，已成了数学中最基本的概念和线性代数的中心内容，它的理论和方法在自然科学的各领域中得到了广泛的应用．而向量及其线性运算也为“向量空间”这一抽象的概念提供出了一个具体的模型。 从数学发展史来看，历史上很长一段时间，空间的向量结构并未被数学家们所认识，直到19世纪末20世纪初，人们才把空间的性质与向量运算联系起来，使向量成为具有一套优良运算通性的数学体系。 向量能够进入数学并得到发展，首先应从复数的几何表示谈起．18世纪末期，挪威测量学家威塞尔首次利用坐标平面上的点来表示复数a＋bi，并利用具有几何意义的复数运算来定义向量的运算．把坐标平面上的点用向量表示出来，并把向量的几何表示用于研究几何问题与三角问题．人们逐步接受了复数，也学会了利用复数来表示和研究平面中的向量，向量就这样平静地进入了数学。 但复数的利用是受限制的，因为它仅能用于表示平面，若有不在同一平面上的力作用于同一物体，则需要寻找所谓三维“复数”以及相应的运算体系．19世纪中期，英国数学家汉密尔顿发明了四元数（包括数量部分和向量部分），以代表空间的向量．他的工作为向量代数和向量分析的建立奠定了基础．随后，电磁理论的发现者，英国的数学物理学家麦克思韦尔把四元数的数量部分和向量部分分开处理，从而创造了大量的向量分析。 三维向量分析的开创，以及同四元数的正式分裂，是英国的居伯斯和海维塞德于19世纪50年代各自独立完成的．他们提出，一个向量不过是四元数的向量部分，但不独立于任何四元数．他们引进了两种类型的乘法，即数量积和向量积．并把向量代数推广到变向量的向量微积分．从此，向量的方法被引进到分析和解析几何中来，并逐步完善，成为了一套优良的数学工具。 二、本章学习重点与难点 从高考的角度出发，近几年上海高考主要考查向量的坐标表示及运算、向量的数量积、平面向量的分解定理。 教学难点是平面向量的数量积与平面向量的分解定理。 三、教学建议 新教材在向量这一章的编排上有点缺点，各校在教学上可结合学生的具体情况对教材作适当的调整。 先上附录内容，讲清楚向量的概念，向量的加法与减法及几何意义，实数与向量的乘积，可适当补充用平面向量的方法证明几何问题。 建议把平面向量分解定理放在向量的坐标表示前面讲，因为根据向量的加法与减法运算很容易得出平面向量分解定理，平面向量的坐标表示是平面向量的正交分解，是分解定理中的一种特殊情况，这样学生对坐标表示的必要性更易理解。 四、教学中的几个注意点 1、运算与证明中要特别注意这个特殊的向量 关于是指模为0的向量，一是要注意向量与数量0的区别，学生在书写中最容易出错。可适当编写一些判断题让学生加深对此概念的理解。 另一方面，的方向是任意的，因此任意向量与向量平行，且任意向量与向量垂直。即，且。 命题：“对于直线，若且，则”是真命题。但命题：“对于向量，若且，则”是假命题。 2、注意单位向量、负（反）向量、平行向量、共线向量等概念的加深与理解、向量加法与减法的几何意义要作为教学的重点。 例：O是平面上的任意一点，A、B、C是平面上不共线的三点，动点P满足：，则点P的轨迹一定通过△ABC的――――――――――――――――――（　　　） A、外心；　　　B、内心；　　　C、重心；　　　D、垂心。 这一题涵盖了单位向量、向量的加法运算、数乘向量、向量运算的几何意义等概念，是一道相当好的试题。 3、向量加法、减法的几何意义中注意和向量与差向量的起点与终点。 OABCD例：某人用速度 O A B C D 如图：以向量表示风速与人的行