第五讲 函数的极值.docVIP

第三章 微分中值定理与导数的应用 第五讲 PAGE PAGE 9 第五讲 函数的极值 授课题目：§3.5 函数的极值 教学目的与要求： 1.理解函数的极值和极值点的概念， 2.掌握求函数极值的方法和步骤，会熟练地求函数的极值. 3.理解函数最大值、最小值的意义，掌握其求法，并能解决简单的最大值、最小值应用问题； 教学重点与难点： 重点：明确函数极值是函数在某点邻域的局部性质.，最大值、最小值应用问题 难点：最值应用问题中目标函数的建立. 讲授内容： 一、函数极值的定义 定义 设函数在点的某邻域内有定义，如果对于去心邻域内的任何点， （或）均成立，就称是函数的一个极大值 （或极小值）． 函数的极大值与极小值统称为函数的极值，使函数取得极值的点称为极值点.例如，上节例4中的函数 有极大值和极小值，点和是函数的极值点． 观察图1，函数有两个极大值：、，三个极小值：、、，其中极大值比极小值还小．就整个区间来说，只有一个极小值同时也是最小值，而没有一个极大值是最大值． 图1 图1 从图中还可看到，在函数取得极值处，曲线上的切线是水平的．但曲线上有水平切线的地方，函数不一定取得极值．例如图中处，曲线上有水平切线，但不是极值． 二、函数极值的判断 由本章第一节费马引理首先可得函数取得极值的必要条件： 定理1　(必要条件)设在点处具有导数,且在处取得极值,那末必定 注意：可导函数的极值点必定是驻点，。 例如，的导数，，因此是这可导函数的驻点，但却不是这函数的极值点． 下面的定理2给出利用函数的单调性来判定函数的极值的方法． 定理2 (第一充分条件) 设函数在点处连续，且在的某去心邻域内可导． (1) 如果当时，；当时，，那末函数在处取得极大值； (2) 如果当时，；当时，，那末函数在处取得极小值； (3)如果当时，的符号保持不变，那末在处没有极值. 根据函数单调性的判别法不难得出此利用函数的一阶导数判定极值的方法。 图2 图2 根据上面的两个定理，如果函数在所讨论的区间内各点处都具有导数，我们就可以按下列步骤来求的极值点和极值： 求极值的步骤: (2)求出的全部驻点与不可导点； 即各极值点处的函数值． 例1 求函数的极值． 解 (1)在（）内连续，除外处处可导，且 ； (2) 令，求得驻点；为的不可导点； (3) 在（）内，；在（）内，，故不可导点 是一个极大值点；又在（）内，，故驻点是一个极小值点； （4）极大值为 ，极小值为. 当函数在驻点处的二阶导数存在且不为零时，可利用下列定理来判定在驻点处取得极大值还是极小值． 定理3 (第二充分条件) 设函数在点处具有二阶导数且，，那末 (1) 当时，函数在处取得极大值； (2) 当时，函数在处取得极小值. 证明 在情形(1)，由于，按二阶导数的定义有 . 根据函数极限的局部保号性，当在的足够小的去心邻域内时， . 但，所以上式即. 从而知道，对于这去心邻域内的来说与符号相反．因此，当即时，；当即时，．于是根据定理2知道，在点处取得极大值． 类似地可以证明情形(2)． 注： （1），驻点一定是极值点 （2），点不一定是极值点，定理3不能用．需用一阶导数． 例如，，，． 例2 求函数的极值． 解 ．令，求得驻点，，. . 因，故在处取得极小值，极小值为． 因，改用一阶导数： 当取左侧邻近的值时，；当取右侧邻近的值时，；因为的符号没有改变，所以在处没有极值． 同理，在处也没有极值(图3)． 图 图3 注 第一充分条件可以用来判断一阶导数等于零的点和导数不存在的点是否为极值点，第二充分条件只能用来判断一阶导数等于零的点是否为极值点。 三、最大值最小值问题 实际生产实践中很多问题都可归结为求某一函数的最大值或最小值问题，如：在一定条件下，怎样使“产品最多”、“用料最省”、“成本最低”、“效率最高”等问题，这类问题在数学上有时可归结为求某一函数(通常称为目标函数)的最大值或最小值问题． 假定函数在闭区间上连续，在开区间()内可导，且至多在有限个点处导数为零．在上述条件下，得出求最大值和最小值的方法． （1）求出在()内的驻点为、，…，及不可导点、，； （2）计算出 （），（）及； （3）比较（2）中诸值的大小，其中最大的便是在上的最大值，最小的便是在上的最小值. 例3 求函数在上的最大值与最小值． 解 ． 在（）内，的驻点为；不可导点为． 由于，比较可得在取得它在上的最大值20，在和取得它在[一3，4]上的最小值0． 例4 铁