第二章 多面体与旋转体 棱锥的概念和性质.docVIP

第二章 多面体与旋转体 棱锥的概念和性质 ? ? 教学目的 1．通过棱锥、正棱锥概念的教学，培养学生知识迁移能力及数学表达能力； 2．通过对正棱锥中相关元素的相互转化的研究，提高学生空间想象能力及空间问题向平面转化的能力． 教学重点和难点 教学重点是正棱锥的性质．教学难点是认识及掌握正棱锥中的基本图形． 教学设计过程 师：上节课我们学了棱柱的有关知识，当棱柱的上底面缩为一点时，想一想，其侧面、侧棱有何变化？ （将金字塔、帐篷的图片以及不同棱锥的模型依次出示给学生） 师：（学生观察后）我们将现实生活中的实例抽象成数学模型，就得到新的几何体棱锥． （板书课题） 师：你们能描述一下棱锥的本质特征吗？ （提示学生可以从底面、侧面的形状特点加以描述） 生：底面可以是任意多边形，侧面必须是三角形． 师：这些三角形必须有共同的什么呢？ 生：有一个公共顶点． 师：（小结）有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥． （这样由观察具体事物，经过积极思维，然后抽象出事物的本质属性，形成概念，是培养能力，提高效果的好办法） 师：请同学们看图1． （可做成覆盖片，依次介绍棱锥各部分名称及表示法） 表示：棱锥S-ABCDE或棱锥S-AC． 师：与棱柱类似，棱锥可以按底面多边形的边数 分为三棱锥，四棱锥，五棱锥，…，n棱锥． （由于本节重点是解决正棱锥的性质问题，故对 棱锥的表示法及其分类宜简不宜繁） 师：由于在实际中遇到的往往是一种特殊的棱 锥——正棱锥，它的性质用处较多，所以下面重点研 究正棱锥的概念及性质． 师：对比正棱柱定义能描述一下正棱锥吗？ （类比是重要的数学方法之一） 生：底面是正多边形的棱锥． 师：对吗？思考一下，棱柱定义在补充几点后才是正棱柱．（学生议论后回答） 生：应该是底面是正多边形，并且顶点在底面的射影是底面中心的棱锥才是正棱锥． 师：很好！以上两条是缺一不可的．即由顶点向底面作垂线，垂足必为底面正多边形的中心的棱锥才是正棱锥． （可拿出各式各样的棱锥模型让学生辨认，根据定义指出哪一个是正棱锥） 师：正棱锥的顶点在底面上的射影是底面正多边形的中心，这是正棱锥的本质特征，它决定了正棱锥的其它性质．下面我们以正五棱锥为例，你能说出其侧棱、各侧面有何性质吗？ （将图2出示给学生） 生：各侧棱相等、各侧面都是全等的等腰三角形． 师：为什么？ 生：可通过全等三角形得证．（口答证明） 证明：连结OA，OB．因为正棱锥S-AC，SO为高，所以OA=OB，∠SOA=∠SOB=90°，SO=SO，所以△SAO≌△SBO．所以SA=SB．故△SAB为等腰三角形．其它同理可证． 师：很好！若我们把等腰三角形底边上的高叫正棱锥的斜高．请在图2中作出两条斜高． 生：作SF⊥BC于F，SG⊥AE于G两条斜高，也可取BC的中点F，连结SF． 师：那么斜高有什么性质呢？ 生：斜高相等． 师：想一想，正棱锥的高与斜高有何区别？ 生：高是顶点到底面的距离，而斜高是顶点到底边的距离． 师：再联系一下垂线段、斜线段的有关知识呢？ 生：高是顶点到底面的垂线段，斜高是顶点到底面的斜线段． 师：所以它们之间的大小关系如何呢？ 生：恒有高小于斜高． 师：对于一般棱锥其侧面不是等腰三角形，棱锥的高是指顶点到底面的距离，垂足是可以在底面多边形内，也可以在底面多边形外的．我们刚才所得到的性质都是对正棱锥而言的．下面我们来研究如何利用这些性质解决具体问题． 师：请同学们看例一．（板书） 已知：正四棱锥S-ABCD中，底面边长为2，斜高为2． 求：（1）侧棱长； （2）棱锥的高； （3）侧棱与底面所成的角； （4）侧面与底面所成的角． 师：根据题目，需要画正四棱锥的直观图，画图的步骤是：先画平行四边形，找中心，画高线，最后连侧棱．（图3） （正四棱锥的直观图的画法下节才讲，本节课只要求学生按以上四步完成即可，教师边说边画） 师：这道题让我们求哪些量？ 生：侧棱、高这两条线段的长及两个角． 师：其实就是求距离及角，是两个什么样的角呢？ 生：一个是线面角，一个是面面角． 师：你们准备怎样求？ 生：先把已知量和未知量在图形中找到，再想办法把它们联系起来，利用正棱锥的有关性质解题． （稍停后，学生口述，教师板书） 生甲：连结SO，由正棱锥性质有SO⊥面ABCD．取BC的中点M，连结SM，OM．因为等腰△SBC，所以SM⊥BC．在Rt△SMB中， 生丙：因为SO⊥面AC，所以∠SBO为侧棱与底面所成的角．在 生丁：因为SM⊥BC，OM⊥BC，所以∠SMO为侧面与底面所 =60°． （解题中用到的每一直角三角形在图3中用彩笔描出） 师：此例中几个提问都显示了直角三角形在解决正棱锥计算问题中的作用．观察图3中彩色部分，有几个直角三角形？ 生：4个． 师