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第三章 微分方程 本章学习目的： 本章的主要目的在于：学习微分方程模型的建立、求解方法、分析结果及解决实际问题的全过程。 1．知道求解微分方程的解析法、数值解法以及图形表示解的方法； 2．理解求微分方程数值解的欧拉方法，了解龙格——库塔方法的思想； 3．熟练掌握使用MATLAB软件的函数求微分方程的解析解、数值解和图形解； 4．通过范例学习怎样建立微分方程模型和分析问题的思想。 §3.1 导言 在许多实际问题中欲研究量与量之间的变化规律时，微分方程起着十分重要的作用。 常见的微分方程模型有：线性和非线性的、常系数和变系数的、有解析表达式和无解析表达式的、方程和方程组的情形等等。 §3.2 引例 在《大学物理》中，我们曾学习过简谐振动（如：弹簧振子、单摆），那就是一个典型的常微分方程的模型。 这里我们讨论“倒葫芦形状容器壁上的刻度问题”。 x x 对于圆柱形状容器壁上的容积刻度，可以利用圆柱体体积公式：,其中容器的直径D为常数，体积V与相对于容器底部的任意高度H成正比，因此在容器壁上可以方便地标出容积刻度。 而对于几何形状不规则的容器，比如“倒葫芦形状”的容器壁上如何标出容积刻度呢？ 如图所示，建立坐标系，由微元法分析可知： ，其中x表示高度，直径是高度的函数，记为D（x）。可得微分方程： 如果该方程中的函数D(x)无解析表达式，只给出D(x)的部分测试数据，如何求解此微分方程呢？ 这个问题在我们下面的介绍中大家会得到答案。 h=0.2; d=[0.04,0.11,0.26,0.56,1.04,1.17]; x(1)=0;v(1)=0; for k=1:5 x(k+1)=x(k)+h; v(k+1)=v(k)+(h/2)*(pi/4)*(d(k)^2+d(k+1)^2); end x=x(1:6),v=v(1:6), plot(x,v) x = Columns 1 through 5 0 0.2000 0.4000 0.6000 0.8000 Column 6 1.0000 v = Columns 1 through 5 0 0.0011 0.0073 0.0373 0.1469 Column 6 0.3393 §3.3 微分方程模型 我们熟悉的速度公式：就是一个简单的微分方程。 微分方程是指含有导数或微分的等式。 一般形式： 微分方程在解决实际社会经济问题中有着十分广泛的应用。在解决实际问题时，必须经过两个重要的阶段：一是微分方程的建立，它取决于对实际问题的深入浅出的刻画、适当合理地简化以及提炼成数学问题。另一个则是方程的求解及结果分析。下面主要简述关于微分方程求解的系列方法。 §3.4 微分方程求解方法 3.4.1 解析解法 解析解法只能解决一些特殊微分方程，这些方法主要针对： 一阶特殊的微分方程：如使用分离变量法、方程变换法、线性方程的常数变易法或公式法求解。 二阶或高阶常系数线性微分方程的特征根法。 在微积分的教程中有专门介绍。 下面着重介绍微分方程的数值解法。 3．4．2 数值解法 微分方程的数值解法是解决某些实际问题中经常使用的方法。设待求解的定解问题为 求该问题数值解法的基本过程如下： 引入自变量取值点序列，定义 为步长，常用定步长(与n无关，为常数)，其精确解记为，一般难以得到。为了寻求的近似值，设想根据一定的原理，结合当前得到近似解，近似地表示该点或前一点的导数值，由此推出计算的迭代公式。因此数值解法一般只能得到微分方程的近似解。下面介绍两个微分方程中最常用的数值解法。 1.欧拉方法 这是一种最简单的解微分方程的数值方法：就是在小区间[xn, xn+1]上用差商代替微商，可以得到近似的表达式 若f(x,y)中的x取左端点，结合已经得到的y(xn)的近似值（数值解）yn，即，有y(xn+1)的近似值为 , n = 0,1,… 这就是求解微分方程的显式欧拉公式。也称向前欧拉公式。 向前欧拉法计算简单，易于计算，但精度不高，收敛速度慢 若f(x,y)中的x取右端点，可得后退欧拉公式如下： yn+1 = yn + h f (xn +1, yn +1) ，n = 0,1,… 称为隐式公式，因为要得出数值解yn+1，就必须求解这个非线性方程，计算比较困难。如果用将向前和向后欧拉公式加以平均，可得到梯形公式： 该法的计算精度比向前和向后欧拉法都高，但计算和向后欧拉法一样困难。 改进的欧拉算法： （1）先用向前欧拉法算出yn+1的预测值， （2）将预测值代入梯形公式的右端作为校正，得到yn+1 ??????，n=1,2,… 该式称为改进欧拉公式。 例3.1