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第一部分基础题
PAGE 18 數學習作第三冊 數學習作第三冊 PAGE 19 11-4平面向量的應用 1 1-4平面向量的應用 ◎第一部分：基礎題◎ 1. 設兩向量﹐﹐為其夾角﹐則下列敘述何者正確﹖ (1) (2) (3) (4) (5) 時﹐﹒ 解﹕利用柯西不等式可得知﹒ (2)不正確, ﹒(1)(3)(4)(5)都正確﹒ 2. 設﹐﹐﹐為實數﹐則下列敘述何者正確﹖ (1) (2) (3) (4) (5)﹒ 解﹕(1)不正確﹐例﹕﹐ (2)(3)(4)(5)都正確﹒ 3. 設﹐為實數﹐且﹐求的最小值﹐及此時﹐的值﹒ 解﹕由柯西不等式知 ﹐故最小值為50﹐ 等號成立 ﹐又﹐得﹐﹒ 4. 設﹐求的最大值﹐及此時的﹐值﹒ 解﹕由柯西不等式知﹕﹐ 得 ﹐ 故最大值為﹐ 此時﹐得﹐﹒ 5. 設兩直線﹐﹐求與的夾角﹒ 解﹕設與的夾角﹐且法向量分別為﹐﹐ 則與的夾角可取與的夾角﹐ 得﹐ 故﹐ 因此﹐與的夾角為與﹒ 6. 設直線﹐求平行且與距離3的直線方程式﹒ 解﹕設所求直線﹐又在上﹐ 由 ﹐ ∴﹐即﹐ 故所求直線或﹒ 7. 設兩向量﹐﹐求 (1)在方向上的投影﹒ (2)在方向上的投影﹒ 解﹕(1) 在方向上的投影為 , 即為﹒ (2) 在方向上的投影為 , 即為﹒ 8. 設兩直線﹐﹐求與交角的角平分線方程式﹒ 解﹕設為與交角平分線上的一點﹐ 則﹐即 ﹐ 即或﹐ 即或﹒ ◎第二部分：進階題◎ 1. 設﹐為正數﹐且﹐求的最小值及此時﹐之值﹒ 解﹕由柯西不等式知 ﹐得最小值27﹐ 此時﹐得﹐﹒ 2. 求過點﹐且與直線夾角的直線方程式﹒ 解﹕設所求直線的斜率為﹐ 則﹐即﹐ 令﹐﹐則 或﹐ 即得直線或﹒ 3. 設三直線﹐﹐﹐求﹐﹐所圍成三角形的內心坐標﹒ 解﹕如圖﹐畫出三直線﹒ 設其內心﹐ 則的角平分線滿足﹕ ﹐ 的角平分線滿足﹕ ﹐ 由﹐ 解得﹒
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