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立体几何创新题分类例析 衡阳县一中 刘亚明 马中平 湖南祁东育贤中学 周友良 421600 衡阳县一中 王爱民 刘亚明 马中平 一．与类比有关的创新题 例1、在平面几何中ΔABC的∠C内角平分线CE分AB所成线段的比 把这个结论类比到空间：在三棱锥A—BCD中（如图）DEC平分二面角A—CD—B且与AB相交于E，则得到类比的结论是 . 答案： 例2、（2004广东15）由图(1)有面积关系: 则由(2) 有体积关系: 解析：本题是道很好的类比创新试题，由体积公式和比例性质不难得出答案为： 例3．在黄冈卷王高二数学（下）单元同步测试卷6中有这样一题：平面外的一侧有一个三角形，三个顶点到平面的距离分别是7、9、13，则这个三角形的重心到平面的距离为( ) （A） (B)10 (C)8 (D) 分析：如图过点A作平面则之间的距离为７，B到的距离为９－７＝２，C到的距离为１３－７＝６，利用梯形中位线易求得BC中点D到的距离为，而重心G在AD上，且 EQ \F(AG,AD) ＝，重心G到的距离为，故重心G到的距离为d=4 +7=,答案为（A）。 提出问题： 其一，作辅助平面，难以考虑到。其二，若A、B、C三点在平面的异侧作图形更难。 思考：还有没有其他更简单一点的策略呢？ 类比迁移：与地理中的“海拔高度”这一概念类比，山峰海拔８８４８米记为＋８８４８米，海峡的海拔高度４４８米记为－４４８米。我们若以平面为参照平面，因为A、B、C三点在平面同侧，则A、B、C三点的“海拔高度”分别为７、９、１３，记为＋７、＋９、＋１３，我们以此为“坐标”来表示A、B、C三点与平面的相对位置关系，而三角形的重心坐标为三坐标的算术平均值，故重心G到平面的距离为d==,这比前面的解法要简单得多。 而且由此类比迁移法解决三角形ABC三顶点在平面的异侧也更简单。 变式１：ABC的三个顶点，A、B在的同侧，C在的异侧，且A、B、C三点到的距离分别为７、９、１３，求重心G 到的距离　。 分析：由上述“坐标法”，不妨再规定点在平面 的一侧“坐标”为正，点在平面 的另一侧“坐标”为负，则A、B、C三点的坐标分别为+7、+9、-13，则重心G 对应坐标为d==1 变式2ABC的三个顶点，A、B在的同侧，C在的异侧，且A、B、C三点到的距离分别为７、９、26，求重心G 到的距离。 由上述解法则重心G 对应坐标为d== =- 。 变式1得到的d=10,说明重心G与A 、B在的同侧。 变式2得到的 ,,说明重心G与A 、B在的异侧 而重心G到 平面的距离为坐标d的绝对值。这种做法的理论依据是用空间坐标系中的竖直方向的 Z 坐标轴，建立一维坐标系，再依据重心坐标公式求解。 以上解法做客观题绝对可靠，但做主观题是否会给满分呢？请专家赐教。 二．与空间想象能力有关的创新题。 例4、正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1，在正方体表面上与点A距离是的点形成一条曲线，这条曲线的长度是 ( ) A. B. C. D. 分析：答案D。 例5．某人买了一罐容积为V升、高为ａ米的直三棱柱型罐装进口液体车油，由于不小心摔落地上，结果有两处破损并发生渗漏，它们的位置分别在两条棱上且距下底面高度分别为ｂ、ｃ的地方(单位：米)．为了减少罐内液体油的损失，该人采用破口朝上，倾斜罐口的方式拿回家．试问罐内液体油最理想的估计能剩多少． 讲解：首先据题目叙述画出示意图(图1)．直三棱柱为ＡＢＣ-Ａ′Ｂ′Ｃ′，破损处为Ｄ、Ｅ，并且ＡＤ＝ｂ，ＥＣ＝ｃ，ＢＢ′＝ａ． 图1 图2 　 其次，是理解“最理想的估计能剩多少”这句话，并将其翻译为数学语言--“罐内所剩液油的最大值为多少?”　 再次，是想象什么时候才能达到该最大值．显然，过D、E两点的平面同时应过B′，才可达到要求．故问题转化为求几何体ＡＢＣＤＢ′Ｅ的体积．　 最后，为求该不规则几何体的体积还应对图形进行处理，办法不惟一，仅给出一种如下：　 因为ＶＡＢＣ-ＤＢ′Ｅ＝ＶＤ-ＢＣＥＢ′＋ＶＤ-ＡＢＣ，而ＶＤ-ＡＢＣ＝ｂＶ/３ａ，故只需求ＶＤ-ＢＣＥＢ′，参见图2．　 由ＶＤ-ＢＣＥＢ′ＶＡ′-ＢＣＣ′Ｂ′＝(ａ＋ｃ)/２ａ及ＶＡ′-ＢＣＣ′Ｂ′＝(２/３)Ｖ，可求得ＶＤ-ＢＣＥＢ′＝（ａ＋ｃ）Ｖ/３ａ．　 于是，最理想的估计是剩下（ａ＋ｂ＋ｃ）Ｖ/３ａ升．　 说明：该题的背景为学生所熟悉，考查了学生阅读理解、空间想象及处理图形的能力． 例6、（2004重庆文理12） 如图，棱长为5的正方体无论从哪一个面看，都有两个直通的边长为1的正方形孔，则这个有孔正方体的表面积（含孔内各面）是