秩及其应用.docVIP

辽 东 学 院 教 案 纸 课题：高等代数 第3.3. PAGE 5页 §3 维数、秩及其应用 教学目的 通过教学，使学生理解F n的子空间的基、维数等基本概念，把握维数与矩阵秩的联系，并将它们应用于线性方程组基本问题的解决． 教学内容 关于秩的概念，我们在第二章§6中利用矩阵子式定义了矩阵的秩，并在本章§2中引进了向量组的秩．本节从F n的子空间的基与维数入手，揭示这些秩的一致性．由于秩有如此深刻内涵，其应用甚广．因此，在节末，我们将利用它来回答线性方程组解的两个基本问题．现在先来阐述 3.1 基和维数 定义1 设W是的一个非零线性子空间，是W的一个线性无关向量组．若W中任一个向量都可以由线性表示，即W，则称是W的一个基． 例1 易见是线性无关的，且，有 ． 因此是的一个基． 又设，则 ． 易见rankA = n．从而由推论3.2.2知道是线性无关的．又由Cramer法则知道有唯一的解，即?可以由线性表示．所以是的一个基． 类似地，设．若B非奇异，则是的一个基． 例2 设，则W是的一个子空间．又，且线性无关．，则．于是 , 故可以由线性表示，所以是W的一个基． 自然的问题是，的非零子空间都有基吗?回答是肯定的，即 定理3.3.1 的每一个非零子空间W 证 设，则线性无关．若，则就是W的一个基．若，则有，但．这时，易见线性无关．若，则是W的一个基．若，则有，且．从而线性无关．依此下去，由推论3.2.4，中线性无关的向量至多n个，从而这样过程不能无限地进行下去，必有线性无关，且．因此，就是W的一个基． ? 若是W的一个基，则.因此，与是的两个等价的线性无关组．故由推论3.2.5知道t = s．因此，我们引入 定义2 设W是的一个非零线性子空间，W的一个基所含向量的个数叫做W的维数，记作dimW． 若W是零空间，则规定dimW = 0． 显然，,这就是§1中称其向量为n维向量的原因．若W是的一个子空间，则dimW = rankW．又若?，则dimL(T) = rankT． 关于维数，我们有 命题3.3.1 设W和U是的两个非零子空间．若，则dimW ≤dimU；且dimW = dimU，当且仅当W =U． 证 设是W的一个基，是U的一个基，由知道，因而可经线性表示．于是，由定理3.2.2得到t≤s，即dimW≤dimU． 若W = U，则dimW = dimU．反之，设是W的一个基，则．若，由dimW = dimU知道必线性相关，否则，U有个数大于dimU的线性无关组．与基、维数的定义矛盾．因此，由命题3.2.4知道可以由线性表示．所以，也是U的一个基，且,．? 类似于解析几何情形，取定W的一个基后，我们可以谈论在这个基下向量的坐标．这一点，这里暂不阐述，留在一般向量空间中讨论，并把注意力放到 3.2 矩阵的行秩和列秩 定义3 设，A的行向量组的秩叫做A的行秩；A的列向量组的秩叫做A的列秩． 同学们自然会问，A的行秩、列秩、秩有何关系?下面的定理回答了这个问题． 定理3.3.2 设，则A的列秩=A的行秩= rankA． 证 设rankA = r．若r = 0，则A = 0，结论自然成立． 设r≥1，则A有一个r阶子式 ． 令，则．于是，由推论3.2.2知道线性无关．此时，对于A的任一列向量，向量组必线性相关．否则，则由推论3.2.2知道 rank , 因而矩阵必有一个r + 1阶子式≠0，与rankA = r矛盾．因此，是的一个极大线性无关组．故A的列秩 = r． 又A的行秩=的列秩=rankA?=rankA． ? 我们注意到，A的列秩就是A的列空间R(A)的维数．因此得到 推论3.3.1 设，则dimR(A)=rankA． ? 至此，我们对矩阵的秩已有完满的陈述，在下面§6中的例题还将涉及，请同学们结合自己的学习作个小结，巩固对秩的认识． 最后，利用矩阵的秩我们来回答 3.3 线性方程组解的两个基本问题 给定数域F上的线性方程组 ， (1) 同学们自然会问：(1)有解的充分且必要条件是什么?若(1)有解，解的个数情况(如唯一解)为何?这是线性方程组解的三个基本问题中的两个．下面我们将予回答． 定理3.3.3(有解判别定理) 设数域F上的线性方程组如(1)所示，则(1)有解的充分且必要条件是，这里A为(1)的系数矩阵，为(1)的增广矩阵． 证 设. 若(1)有解,则向量组,与向量组等价．于是，由推论3.2.6与定理3.3.2得到rankA=rank． 反之，若rankA=rank，则．又 . 于是, 由命题3.3