柯西中值定理和不等式极限.docVIP

九江学院理学院 《数学分析》教案 第 PAGE 4 页 共 NUMPAGES 4 页 §2 柯西中值定理和不等式极限 一 柯西中值定理 定理(6.5) 设 、满足(i) 在区间 上连续，(ii) 在 内可导(iii) 不同时为零;(iv) 则至少存在一点 使得?。 柯西中值定理的几何意义 ? 若连续曲线 由参数方程 ?给出，除端点外处处有不垂直于 轴的切线，则 上存在一点 P处的切线平行于割线 .注意曲线 AB在点 处的切线的斜率为 ，而弦 的斜率为. 受此启发，可以得出柯西中值定理的证明如下： 由于， 类似于拉格朗日中值定理的证明，作一辅助函数 容易验证 满足罗尔定理的条件且 根据罗尔定理，至少有一点 使得 即 由此得 注2：在柯西中值定理中，取 ，则公式（3）可写成 这正是拉格朗日中值公式，而在拉格朗日中值定理中令 ，则 . 这恰恰是 HYPERLINK 03/math/chapters/chapter2/Sec2_5/sec2_5_3.html \l luo#luo 罗尔定理. 注3:设 在区间 I上连续，则 在区间 I上为常数 ， . 例 1 设函数在区间 上连续, 在 内可导, 则 , 使得 . 证 在Cauchy中值定理中取 . 设函数和可导且又 则 . 证明不等式: 对，有. 二、 不定式的极限 一. 型: Th 6.6 (Hospital法则 ) 若函数 和满足： (i) (ii)在点 的某空心邻域内而这可导，且； (iii) 可为实数，也可为 ）则 注意: 若将定理中的x 换成 ，只要相应地求证条件(ii)中的邻域，也可以得到同样的结论。 例1 例2 . 例3 . ( 作代换 或利用等价无穷小代换直接计算. ) 例4 . ( Hospital法则失效的例 ) 型不定式 极限: Th 6.7 (Hospital法则 ) 若函数 和满足： (i) (ii)在点 的某右邻域内二这可导，且； (iii) 可为实数，也可为 ）。则 . . 注意1 不存在，并不能说明 不存在（为什么？） 注意2 不能对任何比式极限都按洛必达法则来求，首先要注意它是不是不定式极限，其次是否满足洛必达法则条件 例 求极限 . ( Hospital法则失效的例 ) 三. 其他待定型: 型： 这里的0表示极限为零的函数，即无穷小量，不是真正的零，这里的是无穷大量，即极限为的函数，不是真正的，利用无穷小与无穷大的关系，有： ， 从而 这就是说通过其中一项“取倒”可将 型既化成 型，也可以化成 型。但究竟应化成哪种形式，要以 的计算方便为标准。 计算 若将“取倒”化成 型，则 若将“取倒”化成 型，则 比原来还复杂所以，一般情况下，尽量不要对 取倒。 型： 化成了 型 例8 型 型： 化成了 型 例9 ， 型 型： 化成了 型 型： 化成了 型 例10 . 例11 . 例12 设 且 求 解 .