振動工学問題　（松久）.docVIP

肈罿袀艿薅薁膆膆螈螄芀芃芀螃艿薅芄螇螃莆罿袀艿薅薁膆膆螈螄芀芃芀螃艿薅芄螇螃莆罿袀艿薅薁膆膆螈螄芀芃芀螃艿薅螇芄螇螃莆罿袀艿薅螈薁膆 振動工学問題解答　（松久）　　 ver.2009 ばね定数，　． 運動方程式は　　である． とは，この微分方程式を満足する．そこで，解は，(注１)で与えられる．ここで，AとBは定数で，初期条件より与えられる． ①　初期条件は，とであるので， のの値として代入すると，，が得られる．結局，解はとなる． ②「力積＝運動量変化」より、において衝撃を受けた直後（）の速度は また、において．この初期条件より，，となり，　 　が得られる． 　　　 ③ において，より，，となり， 　　が得られる． 　　　　　　　　　　　 注１：解として，を与えてもよい．このときの，との関係を求めてみよ．また，①，②，③が同じ解になることを確認せよ． ねじりばね定数，極慣性モーメント，　． ＜上＞， 　　ラグランジュ関数を作る　 　　ラグランジュの運動方程式　　（は一般座標）に代入 　　　　　　　　， 　　したがってが微小の時、ラグランジュの運動方程式は 変形して　　（単振動） ＜下＞　，，同様に， １）のとき　　（単振動）． ２）のとき　　（等速運動）で倒れる． ３）のとき　　加速度をもって倒れる． 別解：つりあいによる運動方程式の導出 ＜上＞モーメントのつりあいより　　　 （括弧内は右辺の項の説明） 　　　（第1項：ばね，第2項：自重） であり，を微小とすると 　　 となる． ＜下＞同様にモーメントのつりあいより 　　　（第1項：ばね，第2項：自重） であり，を微小とすると 　　 となる． ， より，． 　① 運動方程式は，　　これを変形して 　　　さらに変形しての形にする　 　　　とおいて上式に代入すると　この解をとおく． 　(i) のとき　ともに実数 　　の一般解は， 　　　（一般の場合，は複素数） 　　において，より 　　 このとき運動は振動を起こさずに　に収束する。（過減衰over damping） が大きいほど収束するまでの時間は長くなる。 　(ii) のとき（重解） 　　　の一般解は 　　　において，より 　　　 　このとき運動は振動を起こさずにへ収束する。（臨界減衰critical damping） (iii) のとき， 　　　　　の一般解は 同様に初期条件よりが求まり，それと ，，　を用いると 　　　 　このとき運動は２つの指数曲線との間で０に向けて減衰しながら振動する。 　（不足減衰under damping） 　②「力積×作用点までの距離＝角運動量変化」より、 　において力積Pの衝撃を受けた直後の角速度，また (i) のとき 　　　において，より 　　　 　このとき運動は一度だけ最大角をとったあとへ収束して止まり振動しない。 (ii) のとき 　　　において，より 　　 　　このとき運動は一度だけ最大角をとったあとへ収束して止まり振動しない。 (iii) のとき 　　　において，より 　　　 　　このとき運動は２つの指数曲線との間で０に向けて減衰しながら振動する。 一般ににおいて，が与えられた場合、 (i)のとき　（過減衰） 　 平衡位置に向く初速度が与えられた場合、平衡位置を一度通過してから収束する事もある。 (ii) のとき　（臨界減衰） 　　　　　 (iii) のとき　（不足減衰） 　　　　　 ，とおくと（：実数）、上式は 　，と変形できる事に注意したい。 つまり振動成分の固有角振動数はとなり、これを減衰固有角振動数という。 球の中心から重心までの距離をとすると， 　　　 　　半球の質量をとすると慣性モーメントは， 　　 　　半球がθだけ回転したときの重心の座標は　 　　，. 　　速度は，， 　　 　　， 　 　　 　　 　　が微小の時、，，またの２次以上の項は無視できるので， 　　ラグランジュの運動方程式は 　　　　　　　 　　別解：つりあいによる運動方程式の導出 　　この系は半球と地面の接点が回転中心である．回転中心まわりの慣性モーメントは,である．ここで，は回転中心と重心の距離であり，余弦定理より 　　　 と与えられる．運動方程式は，モーメントのつりあいより 　　　　　（第1項：自重，第2項：遠心力）である．ここで，を微小とし，高次の微小項を無視すると 　　　　 　となる． 木片の質量をとし，より，． 平衡状態からの変位をとする。ここで注意したいのは、平衡状態より高い位置にある時も低い位置にある時も不安定、すなわち位置エネルギーが大きいという事である。保存力およびポテンシャルエネルギーを考える時に肝心なのは「平衡状態（またはエネルギー最小の状態）からのずれ」であり、地理的な高低などに