开放和探索性问题2.doc

第44讲 开放和探索性问题2 苏州市木渎第二高级中学 赵伟 一、高考要求 开放和探索性问题的主要特征是：发散性、探究性、发展性和创新性．此类题目的条件或结论不完备，知识覆盖面广，综合性强．要求学生结合已有条件，进行观察、分析、比较、联想、类比、归纳、猜想和概括，自主探索解题的途径．它对学生的数学思想、数学意识及综合运用数学方法的能力提出了较高的要求． 二、两点解读 解决开放和探索性问题要注意从三方面入手：一是提高数学阅读能力．要仔细阅读数学材料，理解数学问题所涉及的材料、信息、知识及相互关系，善于揭示问题的实质，便于进行分析和推断．二是要注意跳出传统推理的思维定势，学会数学的合情推理判断．善于用一些非常规的数学方法去解决问题．三是要熟练地进行数学图形、符号、文字三种语言之间的相互转换，深刻理解数学知识内在的本质属性，注意观察、分析题目的结构特征，挖掘题目中的每一条信息，筛选出关键或有用的信息，找准解题的切入点． 三、课前训练 1．如图是正方体的平面展开图．在这个正方体中， ①BM与ED平行；②CN与BE是异面直线； ③CN与BM成60°角；④DM与BN垂直． 以上四个命题中，正确命题的序号是（ ） （A）①②③ (B)②④ (C)③④ (D)②③④ 2．对于顶点在原点的抛物线，给出下列条件： ①焦点在y轴上；②焦点在x轴上；③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6； ④抛物线的通径的长为5；⑤由原点向过焦点的某条直线作垂线，垂足坐标为（2，1）． 能使这抛物线方程为y2＝10x的条件是（ ） （A）②、③ (B)②、⑤ (C)③、④ (D)①、 ⑤ 3．在直四棱柱A1B1C1D1—ABCD中，当底面四边形ABCD满足条件 时，有A1C⊥B1D 四、典型例题 例1 如图，地在地的正东方向处，地在地的北偏东方向处，河流的沿岸（曲线）上任意一点到的距离比到的距离远．现要在曲线上选一处建一座码头，向两地转运货物．经测算，从到、到修建公路的费用分别是万元/、2万元/，那么修建这两条公路的总费用最低是（ ） （A）万元 （B）万元 （C）万元 （D）万元 例2 如图，连结的各边中点得到一个新的又连结的各边中点得到，如此无限继续下去，得到一系列三角形：，，，，这一系列三角形趋向于一个点M．已知则点M的坐标是 ． 例3 如图，在棱长为1的正方体中， 是侧棱上的一点，． （Ⅰ）试确定，使得直线与平面所成角的正切值为； （Ⅱ）在线段上是否存在一个定点，使得对任意的，在平面上的射影垂直于．并证明你的结论． 第44讲 开放和探索性问题2 过关练习 1．若三棱锥侧面内一动点到底面的距离与到棱AB的距离相等，则动点的轨迹与△ABC组成的图形可能是（ ） A A A A P P P p B C B C B C B C （A） （B） （C） （D） 2．椭圆的长轴为A1A2，短轴为B1B2，将坐标平面沿y轴折成一个二面角，使A1点的平面B1A2B2上的射影恰好是该椭圆的右焦点，则此二面角的大小为( （A）30° （B）45° （C）60° （D）75° 3．四棱锥的8条棱分别代表8种不同的化工产品，有公共点的两条棱所代表的化工产品在同一仓库存放是危险的，没有公共点的棱所代表的化工产品在同一仓库存放是安全的．现有编号①②③④的四个仓库存放这8种化工产品，则安全存放的不同方法总数为（ ）A） 1 3 2 4 7 6 8 5 4．对于直角坐标平面内的任意两点A(x，y )、B(x，y )，定义它们之间的一种“距离”：‖AB‖=︱x?x︱+︱y?y︱． 给出下列三个命题： = 1 \* GB3 ①若点C在线段AB上，则‖AC‖+‖CB‖=‖AB‖； = 2 \* GB3 ②在△ABC中，若∠C=90°，则‖AC‖+‖CB‖=‖AB‖； = 3 \* GB3 ③在△ABC中，‖AC‖+‖CB‖‖AB‖． 其中真命题的个数为（ ） （A）0 （B）1 （C）2 （D）3 5．下面是关于四棱柱的四个命题：①若有两个过相对侧棱的截面垂直于底面，则该四棱柱为直棱