2.1.1 -2.1.3拉格朗日插值 逐次线性插值法.pptVIP

显然，如此构造的L(x) 是不超过n次多项式。当n=1时，称为线性插值。当n=2时，称为抛物线插值。 设 为插值节点，n次多项式 满足条件 由此可得 称为lagrange插值基函数。 Lagrange插值多项式的另一种形式 于是，lk(x)可以写成 容易求得 (2.12) x0x1 xi xi+1 xn-1 xn y=f(x) y=p(x) a b 在插值区间?a, b?上用插值多项式p(x)近似代替f(x), 除了在插值节点xi上没有误差外，在其它点上一般是存在误差的。 若记 R (x) = f(x) - p(x) , 则 R(x) 就是用 p(x) 近似代替 f(x) 时的截断误差, 或称插值余项. 我们可根据后面的定理来估计它的大小. 问题３ Lagrange插值多项式的截断误差 定理2.3 设f(x)在?a, b?有n+1阶导数， x0, x1,…, xn 为 ?a, b?上n+1个互异的节点, Ln(x)为满足 Ln(xi) = f(xi) (i=1,2, …, n) 的n 次插值多项式，那么对于任何x ? ?a, b? , ???(a,b), 有插值余项 其中 注意： ①余项表达式仅当 存在时才能应用，且是唯一的。 ②? 在( a , b ) 内的具体位置通常不能给出，因此R(x)不能准确地计算出来，只能估计它的值． ③若有 ,则截断误差限是 ④ n次插值多项式对次数不高于n次的多项式完全精确。 （因为，若f(x)为次数不高于n次的多项式, 从而Rn(x)=0.） 则f(n+1)(ξ) =0, y 0 x xk xk+1 ① 线性插值： 特别地，n = 1, 2 时的插值余项 ： 第二章 插值与拟合 第二章 函数的插值 学习目标：掌握多项式插值的Lagrange插值公式、牛顿插值公式等，等距节点插值、差分、差商、重节点差商与埃米特插值。重点是多项式插值方法。 2.1.5 Hermite插值多项式 2.1.4 均差和Newton插值多项式 2.1.3 逐次线性插值 2.1.2 Lagrange插值多项式 2.1.1 问题的提出 2.1 多项式插值 给定空间一组有序的控制点（control point），得到 一条光滑的分段参数多项式曲线的方法: 曲线顺序经过所有的控制点，则称为对这些控制点 进行插值，得到的曲线称为插值曲线。 构造一条在某种意义下最靠近控制点的曲线，这称为对 这些控制点进行逼近，得到的曲线称为逼近(拟合)曲线。 (a) 5个控制点的插值曲线 (b) 5个控制点的逼近曲线 本章先讨论插值问题，然后再讨论数据拟合的有关问题。 拟合法就是考虑到数据不一定准确，不要求近似表达式 经过所有的点 ，而只要求在给定的 上误差 （i=0，1, … , n）按某种标准最小。若记 δ=( δ1, δ2 ,…,δn )T ，就是要求向量δ的范数||δ|| 最小。 问题１：基于未知函数或复杂函数的某些已知信息，如何构造这些函数的近似表达式? 情形１．函数f(x)在x０点的Taylor展开式 －－称为函数f(x)的Taylor插值 解: 设 例如：利用Taylor插值求 利用Tylor插值，有 y=f(x) x0 p(x) Tylor插值的缺陷：① Tylor插值中有导数运算，而计算机实现求导运算存在困难；②近似区间小,在大的区间上不可行． 情形２在区间［a,b］上考虑函数f(x)的近似． y=f(x) a　 　　　　　　　　 b 求解：y = f (x) 在[ a , b ]上的近似曲线？ 　　利用函数f(x)在区间[a, b]上一系列点的值 yi= f(xi)（可通过观察、测量、试验等方法得到） y=f(x) yn … y2 y1 y0 y xn … x2 x1 x0 x 插 值 法 解决思路 根据 f (