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维普资讯 第 22卷第 1期 高等函授学报 (自然科学版) VoII22NO．1 2OO8年 2月 JournalofHigherCorrespondenceEducation(NaturalSciences) February2008 · 大学教学 · 微分中值定理应用中辅助函数的构造 朱崇军，徐 侃 (湖北师范学院 数学系，湖北 黄石 435002) 摘 要 ：微分 中值定理的应用是微积分教学 中的核心 内容 。本文就微分中值定理应用 中如何 构造辅助函数 的方法进行 了讨论 关键词 ：微积分；微分 中值定理 ；辅助 函数 ；数学教 学 中图分类号 ：01741 文献标识码 ：A 文章编号 ：1006—7353(2008)01—00018—03 微分中值定理又称微分学基本定理 ，是微积 g (z)≠0，Vz ∈(口，6)，则存在 ∈(口，6)，使 分教学中的核心内容，在教学上对学生有较高的 厂(6)一厂( 一厂 () 要求 。辅助 函数的构造技巧在 中值定理的应用 中 g(6)一 g(口) g ()‘ 既是重点，又是难点 ，本文拟在如何构造适当的辅 分析 f，g是给定的函数，a，b是确定的点， 助函数方面进行讨论 ，供教学参考 。 因此垒鬈 是一个由厂，ga，6决定的常 微分 中值定理的应用是一个广泛的课题 ，就 数 ，于是 问题转化为：] ∈ (口，6)使 f ()一 中值定理的内容而言 ，包括 Rolle定理 ，Lagrange ()，为使用 Rolle中值定理 ，再把 问题转化为 定理 ，Cauchy定理 ，Taylor定理 。本文仅针对教学 零点问题：j ∈(口，6)使 ／()一,tg()一0．试 基本要求 ，归纳 了三种常用 的构造辅助 函数 的方 作辅助函数F(z)一厂(z)一；tg(z)，z∈[口，b-1，易 法。前二种我们以Rolle中值定理为基础 ，这部分 内容是本文的重点，因为 Rolle看似简单 ，实际上 且验证 F(口)一 F(6)一 二 ， 内涵十分丰富，各级各类许多试题与此有关 ，而且 故对F(z)在[n，6]在上使用Rolle中值定理即可 构造思想放在 Rolle定理基础之上，能使思路简 得所需结论 。 明，目的清晰，学生便于掌握 。 这一类问题常常可归结为 ：要证明存在 ∈J， 第三种方法我们 以Lagrange中值定理为基 使 (0一o，“待定常数法”是构造辅助一种直接方 础，重点放在对增量的处理上。 法，对例 1作仔细分析可以发现辅助函数 F(z)有二 1．用 “待定常数法”构造辅助函数 这是一种学生易于接受的常用方法，许 多试 个基本要求， ，可理 题用这种方法可得到解决。 解为要为函数F找到两个支点z， ． 我们先以大家熟悉 的Cauch中值定理 的证明 例 2 设 厂在 [n，6]上二阶可微，厂(n)一 为例 ，说明基本思想 ，然后加 以细致分析，逐步 厂(6)一0，证明：Vz∈ -a，6)存在 ∈ (a，6)使 加深 。 厂(z)一 妄 (z一口)(z