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有理函数是指由两个多项式的商所表示的函数，即 第四节 有理函数的积分 一、有理函数的积分 1. 有理函数的概念 2. 真分式、假分式： 分子的次数小于分母的次数 分子的次数不小于分母的次数 真分式 假分式 例 3. 有理函数的分解 ① 结论1 任一假分式总可化成一个多项式与一个真分式之和. 例 ② 结论2 一个真分式总可化为几个部分简单真分式的代数和。 例 ③ 真分式分解的结论: (i) A为待定常数； A1、A2 为待定常数； （k项） 例 不管分子是何多项式，只要是真分式即可 (ii) （k项） (iii) 例 ④ 待定系数的确定: 例1 其中A，B 为待定系数，用如下方法来确定： 去分母, 得 设 即 比较(3)式两边的系数，得 方法一 方法二 例2 去分母，得 设 适当选取 例2’ 不要漏项 例3 设 例4 解 3. 有理函数的积分 步骤： ⑴ 化假分式为多项式和真分式之和； ⑵ 化真分式为几个部分分式之和； ⑶ 求有理函数的积分。 例5 解 例6 解 说明: 将有理函数分解后进行积分虽可行，但不一定简便， 因此要注意根据被积函数的结构寻求简便的方法. 例7 求 解 原式 解 例8 求 例9 解 是二次质因式，但 而 本题也可如下考虑： 二、三角函数有理式的积分 由于各种三角函数都可用sinx及cosx 的有理式表示，故三 角函数有理式就是 常数和三角函数经过有限次四则运算所构成的函数称为 三角函数有理式。 是三角函数有理式， 例如 一般地， 令 利用万能公式： 则