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高二第一学期 第7章 数列与数学归纳法 一、数列 7.1 数列 1、按一定顺序排列起来的一列数叫做数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项，数列中的每一项都和项的序数有关，排在第一位的书称为这个数列的第1项（首项），排在第二位的数称为整个数列的第2项，……排在第n为的数称为这个数列的第n项，数列的一般形式可以写成a，a，a，……a，…… 2、项数有限的数列叫做有穷数列，项数无限的数列叫做无穷数列， 3、从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列叫做递增数列 从第2项其每一项都小于它的前一项的数列叫做递减数列 各项相等的数列叫做常数列 4、如果数列{a}的第n项a与项的序数n之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式 5、如果数列{a}的任意一项a与它的前一项a（或前几项）之间的关系可用一个公式来表示，那么这个公式叫做这个数列的递推公式 7.2 等差数列 等差数列及其通项公式 1、如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用小写字母d表示 2、设a、A、b是等差数列，A叫做a与b的等差中项，如果三个数成等差数列，那么等差中项等于另两项的算术平均数 3、等差数列{a}的通项公式a= a+（n-1）d 4、a= a+d（n≥2）是以a为首项，以d为公差的等差数列{a}的递推公式 等差数列的前n项和 1、等差数列{a}的前n项和的公式S=或S=na+d 7.3 等比数列 等比数列及其通项公式 1、如果一个数列a，a，a，……a，……，从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个非零常数：=q（n≥2）那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用小写字母q表示（q≠0） 2、由=q（n≥2）的得到a=aq（n≥2），它是以a为首项、以q为公比的等比数列{a}的递推公式 3、设a、G、b是等比数列，那么由等比数列的定义，有G=ab，G叫做a与b的等比中项，如果三个数成等比数列，那么等比中项的平方等于另两项的积 3、等比数列{a}的通项公式a= aq 等比数列的前n项和 1、以a为首项，以q为公比的等比数列前n项和的公式为 S=或S=（q≠1） S=n a（q=1） 二、数学归纳法 7.4 数学归纳法 1、数学归纳法步骤： （ⅰ）证明当n取第一个值n（n∈N）命题成立 （ⅱ）假设n=k（k∈N，k≥n）时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立 （ⅲ）命题对于从n开始的所有正整数n都成立 7.5 数学归纳法的应用 7.6 归纳—猜想—论证 三、数列的极限 7.7 数列的极限 数列的极限 1、在n无限增大的变化过程中，如果无穷数列{a}中的a无限趋近与一个常数A，那么A叫做数列{a}的极限，或叫做数列{a}收敛于A，记作=A，读作n趋向于无穷大时，a的极限等于A 2、当│q│＜1时，q=0 3、=0 极限的计算法则 1、设 a=A，b=B （a±b）= a±b=A+B （a·b）= a·b=A·B ==（B≠0） （C·a）=C· a=C·A 7.8 无穷等比数列各项的和 1、│q│＜1的无穷等比数列的前n项和S当n→∞时的极限叫做无穷等比数列各项的和S=（│q│＜1） 第八章 平面向量的坐标表示 8.1 向量的坐标表示及运算 1、在平面直角坐标系内，方向分别于x轴和y轴正方向相同的两个单位向量叫做基本单位向量，分别记为和，向量的起点置于坐标原点O，作=，叫做位置向量 2、两点之间距离公式，求向量的模，││= 8.2 向量的数量积 向量的夹角 1、对于两个非零向量和，如果以O为起点，作=，=，那么射线OA、OB的夹角θ叫做向量与向量的夹角，θ的取值范围是0≤θ≤π 2、当θ=0时，表示向量和向量方向相同 当θ=π时，表示向量和向量方向相反 夹角θ=0或θ=π的两个向量是相互平行的 夹角θ=的两个向量是相互垂直的，记作⊥ 向量的数量积 1、如果两个非零向量、的夹角θ（0≤θ≤π），那么││││cosθ叫做向量与向量的数量积，记作·，即·=││││cosθ 2、在数量积的定义·=││││cosθ中，││cosθ叫做向量在向量的方向上的投影 3、当0≤θ≤时，有向线段的值等于向量的模││ 当≤θ≤π时，有向线段的值等于-││ 夹角θ=时，有向线段的值等于零 4、两个向量、的数量积是其中的一个向量的模││与另一个向量在向量的方向上的投影││cosθ的乘积 5、·=││≥0，当且仅当·=0时，= ·=· （λ）·=·（λ）=λ（·） ·（+）=·+· 向量的数量积和坐标表示 1、·=xx+yy 2、·=0 xx+yy=0 8.3 平面向量的分解定理 1、如果、是同一平面内的两个不平行向量