超经典平方根和立方根个性1对1.docVIP

一. 教学内容： 平方根和立方根 1. 平方根、立方根的概念和性质； 2. 算术平方根，算术平方根的非负性的应用． 二. 知识要点： 1. 平方根的概念 （1）如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根．即：x2＝a，x叫a的平方根． （2）数a（a≥0）的平方根记作±，读作“正负根号下a”，其中表示a的正的平方根，－表示a的负的平方根；“”实际上省略了中的2，2叫做根指数，a叫做被开方数． 2. 平方根的性质 （1）正数有两个平方根，它们互为相反数． （2）0的平方根只有一个，还是0． （3）负数没有平方根． 3. 算术平方根 一个正数a的正的平方根叫做a的算术平方根，0的算术平方根还是0． （1）算术平方根的定义表明，只要是非负数就一定有算术平方根． （2）算术平方根是平方根的一种． （3）非负数的算术平方根还是非负数．(a≥0)， ≥0 4. 立方根的概念 如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根，即：x3＝a，则x叫做a的立方根，表示为． 5. 立方根的性质 （1）一个正数有一个正的立方根． （2）一个负数有一个负的立方根． （3）0的立方根是0． 6. 互为相反数的立方根之间的关系：互为相反数．例如8的立方根为2，而－8的立方根为－2。 ＝－，也就是说一个负数的立方根，可以先求它的相反数的立方根，再取相反数． 7. 开方：（1）求一个数的平方根的运算叫开平方（2）求一个数的立方根的运算叫开立方． 8. 常见的非负数的类型：︱a︱，a2，(a≥0) 9. 注意事项 （1）要加强对平方根和算术平方根概念的理解，进一步明确非负数a的算术平方根是，而平方根是±． （2）计算化简时要谨慎细心，如求的平方根，需先算出＝9，求的平方根就是求9的平方根，而不是求81的平方根． （3）真正领会负数没有平方根． 三. 重点难点： 1. 重点：①平方根、立方根的概念和性质；②算术平方根． 2. 难点：①平方根、立方根的概念和性质；②算术平方根． 【考点分析】 平方根和立方根是实数知识的基础，中考中多在填空题和选择题中出现，用来考查它们的概念、性质、简单的运算．所以我们要准确掌握平方根、立方根的概念和性质，以及算术平方根（a≥0）的非负性． 【典型例题】 例1. （1）（2007年宜昌）25的算术平方根是 （ ） A. 5 B. C. －5 D. ±5 （2）（2008年哈尔滨）9的平方根是 （ ） A. 3 B. ±3 C. －3 D. 81 （3）（2008年北京）若︱x＋2︱＋＝0，则xy的值为 （ ） A. －8 B. －6 C. 5 D. 6 （4）（2007年安顺）的平方根是__________． 分析：（1）由平方根、算术平方根概念可知25的算术平方根表示为，化简得5，故选A. （2）9的平方根表示为±，得±3．对于（3）中利用非负数的性质得x＋2＝0，y－3＝0，x＝－2，y＝3，可求得xy＝－6，故选B. （4）一定注意不是求16的平方根，而是求的平方根，应首先对进行化简． 解：（1）A （2）B （3）B （4）±2 评析：根据平方根的意义得出：正数有两个平方根，它们互为相反数，而且其中正的平方根也是这个数的算术平方根，而且由算术平方根的意义可知，表示非负数，在初中阶段常见非负数的类型有：a2、︱a︱、（a≥0）． 例2. 求下列各式中的x的值． （1）x2－676＝0；（2）9（3x＋1）2＝64． 分析：这是一道求平方根的题目．（1）x2－676＝0可化为x2＝676，x的值就是676的平方根．（2）可将3x＋＋2＝，所以3x＋的平方根，从而可求出x． 解：（1）∵x2－676＝0，∴x2＝676． ∴x＝±＝±26． （2）∵9（3x＋1）2＝64，∴（3x＋1）2＝， ∴3x＋1＝±＝±， 当3x＋1＝时，x＝； 当3x＋1＝－时，x＝－． 评析：解带有平方的方程时，首先应将方程化为一边是完全平方，另一边是一个非负数的形式，然后两边同时开平方，开方时一定要注意不要漏掉负的平方根，同时根据题目的特点，本题利用了一个重要的数学思想——整体思想． 例3. 如果一个正数的平方根是a＋3和2a－15，求a的值和这个正数． 分析：由平方根的意义可知a＋3和2a－15互为相反数，故有a＋3＋（2a－15）＝0，从而可以解得a，进而求出这个正数． 解：因为一个正数的两个平方根互为相反数， 所以（a＋3）＋（2a－15）＝0，解得a＝4． 当a＝4时，a＋3＝7，2a－15＝－7． 即这个正数的平方根分别是＋7和－7，所以原数为49． 评析：解决本题的关键是利用一个正数的平方根是互为相反数的关系得到a的一元一次方程，解方程求出a的值，从而求出这个正数． 例4. 比较大小：