抽象函数常见题型和解法.docVIP

抽象函数的常见题型及解法 抽象函数的定义域 已知f(x)的定义域，求f[g(x)]的定义域 若已知f(x)的定义域x(a,b)，求f[g(x)]的定义域，其方法是： 由ag(x)b,求得x的范围，即为f[g(x)]的定义域。 即由内层函数的值域，求内层函数的定义域，即为f[g(x)]的定义域。 已知f(x)的定义域为[1，4]，求f()的定义域. 解: 由1≤≤4，得 -1≤≤2 即 -1≤0 或 0≤2 解得 X≤-1 或x≥ ∴函数的定义域为: 已知f[g(x)]的定义域，求f(x)的定义域 若已知f[g(x)]的定义域x(a,b)，求f(x)的定义域，其方法是： 由axb,求得g(x)的范围，即为f(x)的定义域。 即由内层函数的定义域，求内层函数的值域，即为f(x)的定义域。 若已知f(x+2)的定义域为[-2，2]，求函数f(x)的定义域. 解：∵f(x+2)的定义域为[-2，2]， ∴-2≤x≤2， ∴ 0≤x+2≤4 故f(x)的定义域为[0，4] 3. 已知f[ (x)]的定义域，求f[g(x)]的定义域 先由f[ (x)]的定义域，求f(x)的定义域，再由f(x)的定义域，求f[g(x)]的定义域。 即由第一个函数中内层函数的定义域，求得第一个函数内层函数的值域，第一个函数内层函数的值域就是第二个函数内层函数的值域，由第二个函数内层函数的值域，再求出第二个函数内层函数的定义域。 若已知f(x+1)的定义域为，求函数f ()的定义域. 解：∵f(x+1)的定义域为， ∴-2≤x3， ∴ -1≤x+14 即f(x)的定义域为. ∴ -1≤4，∴ -3≤2 即 -3≤0 或 02 解得 X≤-或 x ∴函数的定义域为: 已知f(x)的定义域，求f[ (x)] + f[g(x)]的定义域 若已知f(x)的定义域x(a,b)，求f[g(x)]+f[g(x)]的定义域，其方法是： 由,求得x的范围，即为f[ (x)] + f[g(x)]的定义域。 已知f(x)的定义域为[-1，2]，求g(x)=f(x)+f(-x)的定义域. 解：由题意得：-1≤x≤1, 故函数的定义域为[-1，1]. 已知f(x)的定义域为[0，1]，求g(x)=f(x+m)+f(x-m)的定义域. 解：由题意得： 解此不等式组，须讨论1-m与m的大小 当1-mm即m时，不等式无解，此时函数关系不存在。 当1-m=m即m=时,x=m=. 当1-mm即0m时, m 综上，当0m时,函数g(x)的定义域为{x|m}. 抽象函数的解析式 抽象函数的对称性 抽象函数的单调性 抽象函数不等式的解法 简单概括为f的“穿”、“脱”问题。将函数符号加上即为“穿”、将函数符号去掉即为“脱”，根据函数值相等----先“穿”，根据函数的单调性----后“脱”。 已知函数f(x)的定义域是(0,+∞)，当x1时,f(x)0，且f(x.)=f(x)+f(y)。 求f(1); 证明f(x)在定义域上是增函数; 如果f()=-1,求满足不等式f(x)-f()2的x的取值范围。 分析：（1）求抽象函数的值常采用赋值法。 （2）应利用单调性定义证明，在作差f（x2）- f(x1)变形时，注意条件f(x.)=f(x)+f(y)的应用及拆、添、凑的思想的运用。 （3）解抽象函数不等式，实际上就是f的“穿”、“脱”问题。先“穿”后“脱”。 解：（1）令x=y=1，得f(1)=2f(1)，故f(1)=0 （2）任取x1，x2∈(0,+∞)，且x1x2， 则1,由题意得：f()0 ∴f(x2)－f(x1)=f()-f(x1)= f()+f(x1) -f(x1) =f()0 ∴f(x2)f(x1) ∴f(x)在(0,+∞)上的增函数 方法二：令y=,得f(1)=f(x)=f(x)+f()=0 故f()=-f(x) 任取x1，x2∈(0,+∞)，且x1x2， f(x2)－f(x1)= f(x2)+ f()=f() 由于1，故f()0 ∴f(x2)f(x1) ∴f(x)在(0,+∞)上的增函数 （3）∵f()=-1， ∴-f()=1 2=1+1=-f()-f()=-[f()+f()]=-f()=-f() f(x)-f()2 f(x)-f()-f()f(x) +f()f() f()f() ∴解得:x ∴x的取值范围为{x| x} 例2．定义在R上的函数y＝f(x)，f(0)≠0，当x＞0时，f(x)＞1且对任意a、b∈R，有f(a＋b)＝f(a)·f(b)。 （1）证明：f(0)＝1。 （2）证明：对任意的x∈R，恒有f(x)＞0。 （3）证明f(x)是R上的增函数。 （4）若f(x)·f(2x－x2)＞1，求x的取值范围。 （1）证明：令a＝b＝0，则f(0)＝f(0)