抽象函数奇偶性.docVIP

抽象函数问题的题型综述 一. 求某些特殊值 1.定义在R上的函数满足：且，求的值。 2.已知函数对任意实数都有，且当时， ，求在上的值域。 二. 求参数范围 3.已知是定义在（）上的偶函数，且在（0，1）上为增函数，满足，试确定的取值范围。 4.已知是定义在[-∞,3]上的减函数，若对恒成立，求实数的取值范围。 三. 解不等式 5.已知函数对任意有，当时，，，求不等式的解集。 四. 证明某些问题 6.设定义在R上且对任意的有，求证：是周期函数，并找出它的一个周期。 7.已知对一切，满足，且当时，，求证：（1）时，（2）在R上为减函数。 五. 综合问题求解 8 设函数定义在R上，当时，，且对任意，有，当时。 （1）证明； （2）证明：在R上是增函数； （3）设， ，若，求满足的条件。 答案 1. 解：由， 以代入，有， 为奇函数且有 又由 故是周期为8的周期函数， 2.解：设 且， 则， 由条件当时， 又 为增函数， 令，则 又令 得 ， 故为奇函数， ， 上的值域为 3.解：是偶函数，且在（0，1）上是增函数， 在上是减函数， 由得。 （1）当时， ，不等式不成立。 （2）当时， （3）当时， 综上所述，所求的取值范围是。 4.解： 对恒成立 对恒成立 对恒成立， 5.解：设且 则 ， 即， 故为增函数， 又 因此不等式的解集为。 6.分析：这同样是没有给出函数表达式的抽象函数，其一般解法是根据所给关系式进行递推，若能得出（T为非零常数）则为周期函数，且周期为T。 证明： 得 由（3）得 由（3）和（4）得。 上式对任意都成立，因此是周期函数，且周期为6。 7.证明：对一切有。 且，令，得， 现设，则，， 而 ， 设且， 则 ， 即为减函数。 8.解：（1）令得， 或。 若，当时，有，这与当时，矛盾， 。 （2）设，则，由已知得，因为，，若时，，由 （3）由得 由得 （2） 从（1）、（2）中消去得，因为 ， 即