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函数的傅里叶展开函数的傅里叶展开标准区间上的三角函数系： 具正交性即成立：不同两个函数乘积在上的积分为零，而自身平在上的积分不为零 定理12 （狄利克雷（Dirichlet）定理）如果是以为周期的周期函数，而且在上分段光滑，那么的Fourier级数在任意点x处都收敛，并且收敛于在该点左、右极限的平均值，即 其中 1将周期且知道一个周期区间上表达式展成傅氏级数的步骤（1）确定的周期（2）计算 称的傅里叶系数若为偶函数，由为奇函数，则若为奇函数，知为奇函数，则（3）写出的傅里叶级数， （4） 特别在，傅氏级数和为 周期函数周期2．将定义上的函数展成傅里叶级数的步骤： （1）计算 同样，若为奇函数知若为偶函数， （2）傅氏级数 在处，傅氏级数的和为 注傅氏级数在某点收敛，与在该点是否有定义没关系 周期函数周期时，，则 ==，=. 3．将定义在上的函数展成正弦级数的步骤： （1）计算 而（2）正弦级数 =0. 注 周期函数周期时，有，== 当时，，则=. 4．将定义在上的函数展成余弦级数的步骤（1）计算 而（2）余弦级数 = 注 周期函数周期时，有，== 当时，，则=. 二、考题类型、解题策略及典型例题 类型1.1函数展成傅里叶级数 解题策略 函数展成傅里叶级数的方法比较规范，技巧不大。可按内容提要中函数展成傅里叶级数的步骤去做，关健在于计算，要利用定积分，很多情况下要利用分部积分，需要仔细，在计算之前，考察是奇函数，则是偶函数，则，以简化计算.试求 （1）在上的正弦级数； （2）在上的余弦级数； （3）在上以为周期的傅里叶级数. 解 （1）由在上展成正弦级数，有 因此，上展开的正弦级数为 （2）由在上展成余弦级数，则 因此，在上的余弦展开式为 （3）由 因此在上的傅叶里级数是 这个例子告诉我，可以根据不同的需要，把一函数采用不同的方式展开为相应形式的傅里叶级数形式，以便有利于解决问题。 例11.2 证明等式，并由此求数项级数 的和。 证 只要把上展成余弦级数，由是偶函数，则 由在上连续，且，得 所以 在上述等式中令得 由是正项收敛级数， 例11.3 设，其中 分析 由余弦级数为偶函数，为周期函数，周期T=2，利用这些性质把转化到（0，1）上的函数值，从而与联系上。 解 ·293·