函数极限连续性ppt.pptVIP

第三讲 1-1 函数和连续的概念、性质和应用 (2) 基本特性 2. 函数的连续与间断 (2) 闭区间上连续函数的性质 1.1.讨论 例2. 下列各种关系式表示的 y 是否为 x 的函数? 为什么? 例3. 下列函数是否为初等函数 ? 为什么 ? 例1. 设函数 例2. 设 例3. 设 设 例4. 注意 f (0) = 0, 得 例5. 说明 3、研究函数的基本性质 例1. 设 例2. 设 4、讨论函数的连续与间断 例1. 求 例2.求函数 例3. 讨论下述函数的连续与间断问题 例5. 设 f (x) 定义在区间 5、闭区间上连续函数的性质 例1. 设 例2. 设 例3. 例5. 设 例6.证明方程 例7. 已知方程 例8. 证明方程 第四讲 1-2 求极限的方法 (P13 第二节) 2.求未定式的极限的方法 (3) 善于利用等价无穷小替换 二. 实例分析 例2. 求 例3. 设 思考:1） 2）求 例4 求 例5: 1） 2.函数极限 例1 求 例2. 求下列极限： 令 例3. 求 例4. 求 例6. 求 例7. 求 说明 例1. 例1. 例2 例3. 已知 例4. 当 *例5.设 例1. 求函数 例2. 设 例3. 设 例4. 小球从 1 米高处自由落下, 每次跳起的高度 例5. 证明存在正整数 n , 使 解法1: 原式 故 于是 而 试确定常数 a , b 使 (P34 例14) 说明: 若曲线 有斜渐近线 则 3 极限式中常数的确定 解法2: 因 试确定常数 a , b 使 (P34 例14) 利用 时 得 有 解： 由于 存在, 求常数 a 及其极限值. 解: 因为 所以 即 这样 时, 是 的几阶无穷小? 解: 设其为 的 阶无穷小, 则 因 故 机动 目录 上页 下页 返回 结束 解 解: 当 时的等价 无穷小. ～ 4 应用 解: 利用前一极限式可令 再利用后一极限式 , 得 可见 是多项式 , 且 求 故 由介值定理知, 一定存在 使 上连续, 且 a ? c ? d ? b , 在 必有一点 证: 使 即 由介值定理, 证明: 故 即 设函数 f (x) 在[ 0, 3 ]上连续, 在( 0, 3 )内可导, 且 分析: 所给条件可写为 (2003考研) 试证必存在 想到找一点 c , 使 证: 因 f (x) 在[0, 3]上连续, 所以在[ 0, 2 ]上连续, 且在 [ 0, 2 ]上有最大值 M 与最小值 m, 故 由介值定理, 至少存在一点 由罗尔定理知, 必存在 证明 讨论: 例4. 由零点定理知, 综上, 保号性 定理 在区间 上连续 , 且 试证存在 使 证: 不妨设 必有 使 故 保号性 定理 必有 使 故 又在 上 连续, 由零点定理知, 存在 使 在 内至少存在一个实根。 证： 令 且 上连续， 由闭区间连续函数根的存在定理知 内至少存在一点 即方程 在 内至少存在一个实根。 证明: 当 时, 该方程有且仅有 n – 1 个实根 , 且在任一区间 内, 方程有且仅有一个实根 . (P10 例7) 证: 将原方程去分母, 得到一个 n – 1 次方程 显然 正负号交替出现 . 由连续函数介值定理可知 在每一个区间 上都至少有一个零点 , 而 为 n – 1 次多项式 , 它最多有 n – 1个零点, 从而方程 在每个区间 内有且 仅有一个实根 . 又因原方程与方程 同解, 故原方程也有 n – 1 个实根 , 且在每个区间 内有且仅有一个根 . 阅读与练习: P1 第一节 (除P12 例10) 证: 设 ?原方程存在唯一实根 由 使 在[0,1]上存在唯一 的实根 xn , 且 则 得 由① ① 研究函数与极限 的基本方法 （求极限的方法） 一. 方法指导 1. 求极限的基本方法 (P16-P19) (1) 已知极限值利用极限定义验证 (用“ ? - N ” 或 “ ? - ? ”语言) (2) 未知极限值 先判别极限存在后再求极限 根据法则演算, 判定与计算同时进行. 通分 转化 取倒数 转化 取对数 转化 3. 求极限的基本技巧 (1) 定式部分应尽早求出; 各种方法注意综合使用. (2) 注意利用已知极限的结果 . 例如, 当 时 时 速度一个比一个快 . ～ ～ ～ ～ ～ ～ 利用麦克劳林公式找等价无穷小 当 时 ～ 当 x → 0 时, 有下列常用等价无穷小 : ( P16) (4) 注意利用求极限的特殊方法 如, 利用导数定义 , 微分中值定理 ,