第6章定积分的应用.docVIP

第六章 定积分的应用 本章要求熟练运用微元法解决一些简单的几何问题（平面图形的面积、旋转体的体积、截面已知的立体的体积、平面曲线的弧长等）与物理问题（变力做功、水压力、引力等）. 基本内容 （一）微元法 如果某一实际问题的所求量U符合以下条件： 1.U是与变量x的变化区间有关的量； 2.U对于区间具有可加性，即； 3.部分量的近似值克表示为，即有，其中为区间[a, b]上的连续函数，则所求量. 这种方法称为微元法，而一般称为U的微元. （二）定积分在物理上的应用 1.变力沿直线运动的做功问题 假设物体在平行于轴的力的作用下，沿轴由运动到，则力所用的功为 图6-1 2.压力问题 假设液体的比重为，有一个平面板铅直放入水中，平面板的上下两边与液面平行，上边与液面距离为a，选取与液面重合的坐标轴为y轴，铅直向下的坐标轴为x轴，如图6-1所示 取积分变量为，则的变化区间为，在区间内任取一微元,则所受压力为 由微元法可知，平面板一侧所受到的压力为 3.引力 当引力的方向不随微元的改变而改变时，可以直接将引力对微元所变化的区间进行积分即可.例如，长为，线密度为的均匀细棒在对棒的延长线上距棒的近端的距离为处的一个质量为的质点的引力为（参见图6-2） 图6-2 当引力的方向随微元的改变而改变时，需要将引力分解为横向与纵向的两个分力，在分别利用微元法求出这两个方向上的引力. （三）定积分在几何上的应用 1.平面图形的面积 设,在区间上连续，且对任意的，有，则由上曲线，下曲线，及直线和所围图形的面积为（参见图6-3的左图） 设在区间连续，且对任意的，有，则由右曲线，左曲线及直线和所围图形的面积为（参见图6-3的右图） 图6-3 设在极坐标中，函数在区间上连续，则由曲线以及两条射线所围成的图形面积为（参见图6-4） 图6-4 设曲线的参数方程表达式为 其中在区间上连续可导，且，则以曲边为顶，轴为底，两直角边为的曲边梯形的面积为 旋转体的体积 由连续曲线,直线以及轴所围成的曲边梯形绕轴转一周而成的旋转体的体积为 由连续曲线,直线以及轴所围成的曲边梯形绕轴旋转一周而成的旋转体的体积为 平行截面面积已知的立体的体积 如果一个立体虽然不是旋转体，但是知道该立体上的垂直于一个定轴的各个截面的面积，如图6-5.取定轴为轴，并设该立体在过点且垂直于轴的两个平面之间.设在处，且垂直于轴的平面的截立体所得到的截面的面积为,则由微元法，有从而该立体的体积为 图6-5 平面曲线的弧长 直角坐标情形 设曲线弧由y=f(x)给出，则弧长为 参数方程的情形 设曲线弧由参数方程 给出，则弧长为 极坐标的情形 若曲线有极坐标方程给出，则弧长公式为 三、练习题 6.1、直线将由所围成的区域分为上下两部分，则上部分与下部分的面积比值为__________. 解：如图 上部分面积是 下部分面积是 则上部分与下部分的面积比值是 6.2、曲线所围成的图形面积为__________. 解：设椭圆的参数方程为，则当时，，当时，，从而，所求的的图形面积是 6.3、心形线被y轴分成左右两部分，其左部分的面积为_______. 解：如图 则左部分面积为 6.4、直线所围成的平面图形绕x轴旋转一周所得的旋转体的体积为___________. 解：其体积是 6.5、由曲线所围成的平面图形绕y轴旋转一周所生成的旋转体的体积为___________. 解：如图 所求体积是 6.6、曲线自到这一段的弧长为___________. 解：由曲线弧长公式,得 6.7、曲线自至这一段的弧长为__________. 解：由曲线的参数方程可得 6.8、有一横截面面积为20平方米，深5米的水池，池中装满了水.今要将池中的水全部抽到高10米的水塔上，则需作功__________. 解：选取水塔高度为坐标原点，方向向下，则水池的高度位于此坐标系范围内.在水池处任取一高为，截面面积为20平方米的微元，则此微元的体积是 将此微元提升到，做功 将池中的水全部抽到高10米的水塔上，则需作功 6.9、有一装满水的断面为梯形的水箱，其上底为3米，下底为2米，高为2米，则水箱一侧所受到的压力为__________. 解：建立如图坐标系 并在y处取如图微元dy，则由于直线AB的方程为，因此C点的坐标为，故微元的截面面积是 此微元所受到的压力 则水箱一侧所受到的压力为 6.10、有一单位长度的细棒，其上任意一点的线密度与该点到细棒的一个固定端的距离