高数微积分第六章多元函数微积分.ppt

如果积分区域为： ［Y－型］ X型区域的特点： 穿过区域且平行于y轴的直线与区域边界相交不多于两个交点. Y型区域的特点：穿过区域且平行于x轴的直线与区域边界相交不多于两个交点. 如果积分区域为： 如果积分区域为： 应用计算“平行截面面积为已知的立体求体积”的方法, 得 且在D上连续时, 若D为 X – 型区域 则 若D为Y –型区域 则 说明: (1) 若积分区域既是X–型区域又是Y –型区域 , 为计算方便,可选择积分序, 必要时还可以交换积分序. 则有 (2) 若积分域较复杂,可将它分成若干 X-型域或Y-型域 , 则 例. 计算 其中D 是直线 y＝1, x＝2, 及 y＝x 所围的闭区域. 解法1. 将D看作X–型区域, 则 解法2. 将D看作Y–型区域, 则 例. 计算 其中D 是抛物线 所围成的闭区域. 解: 为计算简便, 先对 x 后对 y 积分, 及直线 则 解 解 例 . 计算 其中D 是直线 所围成的闭区域. 解: 由被积函数可知, 因此取D 为X – 型域 : 先对 x 积分不行, 说明: 有些二次积分为了积分方便, 还需交换积分顺序. 1.对于给定的二次积分，先根据其积分限，画出积分区域D。 2.根据积分区域的形状，按新的次序确定积分区域D的积分限。 3.写出结果。 二、交换二次积分次序 解 积分区域如图 例 . 交换下列积分顺序 解: 积分域由两部分组成: 视为Y–型区域 , 则 解 三、利用对称性和奇偶性化简二重积分的计算 1.积分区域D关于y轴对称时 2.积分区域D关于x轴对称时 例. 计算 其中D 由 所围成. 解: 令 (如图所示) 显然, 内容小结 二重积分化为累次积分的方法 直角坐标系情形 : 若积分区域为 则 若积分区域为 则 解： 原式 练习 1. 给定 改变积分的次序. 第九节 有些二重积分，其积分区域D的边界曲线用极坐标方程来表示比较简单，如圆形或扇形区域的边界。此时，如果该积分的被积函数在极坐标系下也有比较简单的形式，则应考虑用极坐标来计算次二重积分。 在极坐标系下二重积分的计算 在极坐标系下, 用同心圆r =常数及射线? =常数, 分划区域D 为 则除包含边界点的小区域外,小区域的面积 即 对应有 在 内取点 设 则 特别, 对 解 例. 计算 其中 解: 在极坐标系下 原式 的原函数不是初等函数 , 故本题无法用直角 由于 故 坐标计算. 例 讨论函数 及 是否取得极值. 解: 显然 (0,0) 都是它们的驻点 , 在(0,0)点邻域内的取值 , 因此 z(0,0) 不是极值. 因此 为极小值. 正 负 0 在点(0,0) 并且在 (0,0) 都有 可能为 应注意的问题 不是驻点也可能是极值点. 因此, 在考虑函数的极值问题时, 除了考虑函数的驻点外, 如果有偏导数不存在的点, 那么对这些点也应当考虑. 下页 但(0? 0)不是函数的驻点? 最大值和最小值问题 如果f(x, y)在有界闭区域D上连续, 则f(x, y)在D上必定能取得最大值和最小值. 讨论: 比较极值的大小就能确定函数的最大值和最小值吗？ 提示: 不能, 最大值和最小值也可能在区域的边界上取得, 而极值是在区域的内部求得的. 下页 使函数取得最大值或最小值的点既可能在D的内部, 也可能在D的边界上. 最大值和最小值的求法 将函数f(x, y)在D内的所有驻点处的函数值及在D的边界上的最大值和最小值相互比较, 其中最大的就是最大值, 最小的就是最小值. 如果函数f(x, y)的最大值(最小值)一定在D的内部取得, 而函数在D内只有一个驻点, 那么该驻点处的函数值就是函数f(x, y)在D上的最大值(最小值). 下页 最大值和最小值问题 如果f(x, y)在有界闭区域D上连续, 则f(x, y)在D上必定能取得最大值和最小值. 下页 例 某厂要用铁板做成一个体积为8m3的有盖长方体水箱? 问当长、宽、高各取多少时? 才能使用料最省? 解 根据题意可知? 水箱所用材料面积的最小值一定存在? 并在开区域D?{(x? y)|x0? y0}内取得? 又因为函数在D内只有一个驻点(2? 2)? 所以此驻点一定是A的最小值点? 设水箱的长为x m? 宽为y m? 则所用材料的面积为 水箱所用的材料最省? 二、条件极值 拉格朗日乘数法 条件极值 对自变量有附加条件的极值称为条件极值.