解析几何中的问题解决：变换的视角.pdfVIP

· 专论荟萃 · 数学通讯 一 2013年第 l期 (下半月) 37 解析几何中的问题解决：变换的视角 胡典顺 (华中师范大学数学与统计学学院，430079) 1872年，德国数学家 F．克莱因发表了著名的 图形作关于原点对称的变换． 演讲 《爱尔朗根纲领》，阐述了几何学统一的新思想． 所谓几何学，就是研究几何图形对于某类变换群保 c4，一次变换[]_m][]是将平面图形 持不变的性质的学问．今天，群作为整个数学的一个 作关于直线Y=z对称的变换． 核心概念，在几何学、分析学、代数学、概率论以及许 1．3 伸缩变换 多应用科学分支中都发挥着重要的作用．数学家们 c一次变换Y[z]=言[][]c≠。，是将平 在寻求数学基础结构的同时，也在寻求一种变换的 法则 ，从而能够判断到底在什么条件下两种结构确 面图形，沿z轴方向伸缩忌倍的变换． 实相同． c2，一次变换[]=[羔][]c≠。是将平 矩阵是若干个按照一定的行列次序排列而成的 面图形，沿Y轴方向伸缩k倍的变换． 一 种数表结构．从另一个角度来看，矩阵也是一种特 1．4 切变变换 殊的映射或变换．高中课程选修内容 对《称与群》中 的三种运动(旋转、平移、翻折)，其实它们也可以看 c一次变换Y[]=[][]c是≠。是将平 作是一种特殊的变换 ，即保持图形中任意两点距离 面图形上的各点作平行于 z轴的移动，但平行于z 不变的变换(保距变换)．显然，变换思想在现今的高 轴的线段长度保持不变，而平行于Y轴的线段作相 中数学中已有充分的体现，本文试图从变换的视角 同角度的倾斜的变换． 探讨解析几何中的若干问题． 1 常见变换类型 )--z~ []=[][]c尼≠。，是将平 1．1 恒等变换 面图形上的各点作平行于y轴的移动，但平行于y 一 次变换Y[]=[1。0]y[]是将平面图形上任轴的线段长度保持不变，而平行于 轴的线段作相 同角度的倾斜的变换． 意点变为 自身的变换． 1．5 旋转变换 1．2 反射变换 c一次变换[]=[一][]是将平面图 一 次变换[]：[coinsO一；][]是将平面 图形绕原点旋转0角的变换． 形作关于z轴对称的变换． 2 变换视角下的问题解决 ： c2一次变换fz] 2．1 还原问题本质 ty ) [一；][]是将平面图 形作关于Y轴对称的变换 例 1 求抛物线 =2px (0)在矩阵 c3一次变换[]=[一一][]是将平面 [一：]对应的变换下得到的曲线 基金项 目：受 中央高校基本科研业务费专项资金资助(CCNU10B01004)；华 中师范大学国家教师教育创新平台理论创新研究成果 (985ZX06)；华中师范大学教师教育学院研究专项资助