规范场与微分几何.pdfVIP

規範場論及微分幾何 邵錦 昌 間中的附屬品, 他賦予曲面自己的座標 x , 一. 敘論 1 x , 並引進第一基本量: 2 場論及微分幾何分別是物理和數學中的 2 2 ds = E(x , x )dx + 2F (x , x )dx dx 兩門重要的學科。 場論肇始於馬克士威爾的 1 2 1 1 2 1 2 +G(x , x )dx2 (1) 電磁學 (我們姑且不論牛頓的重力理論), 如 1 2 2 今已是解釋基本粒子的最有力的工具。 這兩 來描述曲面上的弧長元素, 從而曲面上的距 門學科在歷史上雖然是各 自發展, 但是現在 離和角度都可由 E、 F 和 G 三個函數來決 大家已了解, 事實上它們卻是同一件事情的 定, 他把這些僅與 E、F 和 G 有關的幾何性 一體兩面。 然而這種認知過程卻是相當曲折, 質稱之為曲面的內在性質。 高斯下一個重要的貢獻則是關於曲面曲 前後歷經了將近百年的時間, 並且經過歷史 率的研究。 高斯先是經 由曲面的法線在三度 上最聰明的頭腦的努力才達成的。 在本文 中 空間的變動來定義曲率 K , 然而出乎他意外 我們來看一下這段發展的過程, 並且來瞭解 的是, 他發現曲率僅用 E、F 和 G 三個量就 它們的內涵及密切關係。 可以完全的表示出來, 因此曲率是一種曲面 的內在性質, 而與它所存在的三度空間無關。 二. 高斯、 黎曼及嘉當的微分幾 這個結果, 充分的顯示了曲率在幾何學裡的 何: 中心地位, 高斯很得意地稱之為 “theorema egregium”—最漂亮的定理。 高斯還證明了 微 分 幾 何在 尤 拉 (Euler) 及 孟 日 一個關於 曲率和測地線所圍成的三角形的有 (Monge) 的手上固然已經有了很多的發展, 名定理。 他證明了曲面上一個由測地線所圍 但是真正決定性的 結果則無疑 的是在 高斯 成的三角形的內角和, 並不像在平面上一樣 (Gauss) 1827 年的那篇 “曲面概論”論文上 等於 π, 而是由下面的公式來表述: 建立的。 高斯引進了一種全新的概念, 那就是 KdA = α + α