2005年江苏地区数学科反函数课件资料[原创].pptVIP

* §2.4.1 反函数 1、函数的概念（近代定义）： 如果A、B都是非空的数集，那么A到B的映射 就叫做A到B的函数，记作 y=f（x）. 其中 ，原象的集合A叫做函数y=f（x）的定义 域，象的集合C（ ）叫做函数y=f（x）的值域。 引入新课 2、设 是集合A到集合B的映射，如果在这个映射下，对于集合A中的不同元素，在集合B中有不 同 的象，而且B中每一个元素都有原象，那么这个映射叫做A到B上的一一映射。 1 2 3 4 f：乘以2再减去1 1 3 57 A B 如： 映射 是A到B上的一一映射 我们知道,物体做匀速直线运动的位移s是时间t的函数,即s=vt. 其中速度v是常量. 讲授新课 反过来,也可以由位移s和速度v(常量)确定物体做匀速直线运动的时间,即 这时,位移s是自变量,时间t是位移s的函数,在这种情况下,我们说 是函数s=vt的反函数. 在函数y=2x+6(x∈R)中,x是自变量,y是x的函数 从函数y=2x+6中解出x,就可以得到式子 (y∈R) 这时我们就说 (y∈R)是函数y=2x+6(x∈R)的反函数. 对于y在R中任何一个值,通过式子 ,x在R中都有唯一的值和它对应,也就是说,可以把y作为自变量(y∈R),x作为y的函数. 记作：x=f--1(y) 一般地，函数y=f(x)(x A)中,设它的值域为C,我们根据这个函数中x,y的关系，用y把x表示出，得到x=φ(y),如果对于 y在 C中的任何一个值，通过x=φ(y),x在A中都有唯一的值和它对应，那么，x=φ(y)就表示y是自变量，x是自变量y的函数，这样的函数x=φ(y)（y C)叫做函数y=f(x)(x A)的反函数。 在函数x=f--1（y）中，y是自变量，x表示函数。 反函数定义： 反函数的定义着重强调了两点: 1.根据y=f（x）(x∈A ,y∈C)中x与y的关系,用y把x表示出来,得到x=g（y）. 2.对于y在C中的任一个值,通过x=g（y）,x在A中都有惟一的值和它对应. 满足了上述两点, x=g（y）(y∈C)就叫做y=f（x）的反函数. 例如函数y=2x的反函数为 (x∈R),函数y=2x+6的反函数为 (x∈R)等. 在函数 中,y表示自变量,x表示函数.但在习惯上,我们一般用x表示自变量,y表示函数,为此我们常常对调函数 中的字母x,y,把它改写成 .今后凡不特别说明函数y=f（x）的反函数都采用这种经过改写的形式,这种改写的形式称为习惯记法. 请注意:在y=f（x）与 中的x,y所表示的量相同(前者中的x与后者中的x都属于同一个集合,y也是如此),但地位不同(前者x是自变量,y是函数值;后者y是自变量,x是函数值). 在y=f（x）与 中的x都是自变量,y都是函数值,即x,y在两式中所处的地位相同,但表示的量不同(前者中的x是后者中的y,前者中的y是后者中的x). 函数y=f（x）与它的反函数y=f –1(x)两者之间,定义域,值域存在什么关系? 函数的定义域,值域分别是它的反函数的值域,定义域. 从反函数的概念可知,如果函数y=f（x）有反函数y=f –1(x),那么函数y=f –1(x)的反函数就是y=f（x）,即函数y=f（x）与y=f –1(x)互为反函数. 互为反函数的函数之间的关系: 互逆 f－1:C→A (f－1(b)=a) f :A→C (f(a)=b) 对应法则 互换 A C 值域 互换 C A 定义域 互反 y = f －1( x ) y = f ( x ) 函数 （1） 不是每一个函数都有反函数；一个函数有反函数的充要条件是它相应的映射是一一映射； （2） 原函数与反函数的法则互逆；它们互为反函数； （4）原函数与反函数的定义域与值域互换。 （3）反函数也是函数，因为它是符合函数定义的； 对反函数定义的理解 从反函数的概念我们还可以知道,求反函数的方法步骤为: 1.由y=f（x）解出x=f -1(y),即把x用y表示出来. 2.将x=f -1(y)改写成y=f –1(x),即对调x=f -1(y)中的x,y. 3.指出反函数的定义域. 求下列函