自相似过程遍历性和相关函数性质.docxVIP

五邑大学硕士学位论文 Ａｂ ｓｔｒａｃｔ Ｉｎ ｐｒａｃｔｉｃａｌ ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ，  Ｍｅａｎ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ａｎｄ ｃｏｒｒｅｌａｔｉｏｎ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｏｆ Ｒａｎｄｏｍ ｐｒｏｃｅｓｓ ｉｓ  ｖｅｒｙ  ｉｍｐｏｒｔａｎｔ．Ｈｏｗｅｖｅｒ，Ｔｈｅ  ｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃｓ ｏｆ ｔｈｅｓｅ  ｆｉｇｕｒｅｓ ｄｉｆｆｉｃｕｌｔ  ｔＯ ｏｂｔａｉｎ，Ｏｆｔｅｎｌｙ ｆｏｒ  ａ ｒａｎｄｏｍ ｐｒｏｃｅｓｓ Ｘ（ｆ），Ｗｅ  ｃａｎ ｏｎｌｙ ｂｅ ｏｂｔａｉｎｅｄ  ａ  ｓａｍｐｌｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎＸ（ｔ）ｔｈｒｏｕｇｈ ｔｅｓｔ，Ｏｒ  ｔｈｅ ｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｉｎｇ ｖａｌｕｅ Ｘ（ｔｏ），彳（‘），．．．，Ｊ（乙）ｏｆａ  ｓａｍｐｌｅｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｉｎ  ａ ｎｕｍｂｅｒ ｏｆ ｔｉｍｅｓ  ｔｏ，ｒｌ，．．．，０，Ｒｅｑｕｉｒｉｎｇ  ｅｒｇｏｄｉｃ ｏｆ ｒａｎｄｏｍ ｐｒｏｃｅｓｓ  ｔｏ ｅｓｔｉｍａｔｅ ｔｈｅ ｐｒｏｂｌｅｍ ｏｆ ｔｈｅ ｎｕｍｂｅｒ ｆｅａｔｕｒｅｓ．Ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ ｉｎｔｒｏｄｕｃｅｓ ｅｒｇｏｄｉｃｉｔｙ ｏｆ ｔｈｅ ｓｅｌｆ－ｓｉｍｉｌａｒ ｐｒｏｃｅｓｓ，Ｔｈｅ ｆｉｒｓｔ ｃｈａｐｔｅｒ ｉｓ ｔｈｅ ｉｎｔｒｏｄｕｃｔｉｏｎ，Ｉｎｔｒｏｄｕｃｅｄ ｔｈｅ ｂａｃｋｇｒｏｕｎｄ ｏｆ ｅｒｇｏｄｉｃｉｔｙ ｔｈｅｏｒｅｍ；Ｔｈｅ ｓｅｃｏｎｄ ｃｈａｐｔｅｒ ｉｓ ｋｎｏｗｌｅｄｇｅ ｔｏ ｐｒｅｐａｒｅ，Ｉｎｔｒｏｄｕｃｅｄ ｔｈｅ ｂａｓｉｃ ｓｔａｔｕｓ  ｏｆ ｅｒｇｏｄｉｃ ｔｈｅｏｒｅｍ ａｎｄ  ｒｅｌａｔｅｄ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎｓ；Ｃｈａｐｔｅｒ Ｉｌｌ ｉｓ ｔｈｅ ｍａｉｎ ｔｈｅｏｒｅｍ， Ｒｅｓｐｅｃｔｉｖｅｌｙ，Ｉｔｓ ｓｏｍｅ ｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓ ｏｆ ｃｏｒｒｅｌａｔｉｏｎ ｆｕｎｃｔｉｏｎ  ａｒｅ ｇｉｖｅｎ ｉｎ ｄｅｔａｉｌ，Ａｎｄ ｗｈｅｎ （Ｘ（ｔ），ｔ＞Ｏ）ｉｓ  ｔｈｅ ｓｅｌｆ－ｓｉｍｉｌａｒｉｔｙ ｐｒｏｃｅｓｓ ｏｆ  ｍｅａｎ—ｓｑｕａｒｅ  ｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓ，Ａｎｄ ｅｒｇｏｄｉｃｉｔｙ ｏｆ ｉｔｓ ｍｅａｎ ｆｕｎｃｔｉｏｎ．ｃｏｒｒｅｌａｔｉｏｎ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ａｎｄ ｔｈｅ ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ ｆｕｎｃｔｉｏｎ． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：ｓｅｌｆ－ｓｉｍｉｌａｒ ｐｒｏｃｅｓｓｅｓ；ｒｅｌａｔｅｄ ｆｕｎｃｔｉｏｎ；ｅｒｇｏｄｉｃ ｔｈｅｏｒｅｍ ｎ 本人声明 我声明，本论文及其研究工作由本人在导师指导下独立完成，完成论文所用的 一切资料均已在参考文献中列出。 作者：邓晚霞 ２００９年４月１０日 签字：卵蝮 五邑大学硕士学位论文 第一章绪论 遍历理论是随机过程理论的基本概念之一．在随机过程理论和应用的研究中，常 常需要对某个随机过程的各种不同的统计量做出估计．例如，人们想要确定随机过程 ｛ｘ（ｆ），ｔ＞Ｏ）的均值函数ｍ（ｔ）：ＥＥＸ（ｔ）３，即ｘ（ｆ）在整个样本空间Ｑ上的平均值．但在 实际中经由对过程的观测通常只是得到随机过程｛ｘ（ｒ），ｔ≥ｏ）在观测区间［ｏ，Ｔ】中的 一个样本函数ｘ（ｔ，ＣＯ）（对某个∞∈Ｑ）．这是否能根据过程的这一样本函数对时间取得 平均值（简称时间平均或样本平均） 一Ｘｒ＝彳１．ｃ ｘ（细矽  ． 来估计空间平均聊（，）呢？一般地五随观测区间长度Ｔ而变，而ｍ（ｔ）则随时间参数ｆ而 变，因此对任意有限的丁和，值是难以确立墨和ｍ（ｔ）之间的关系．但是，如果在均方极 限情形下有等式 １ｉ—＇Ⅷｉ．ｍ墨＝，ｉ—＋Ⅷ ｍ（ｔ）  （１）．（等式的左边是在均方意义下的） 人们就能够用过程在足够长的观测区间上的时间平均．ｋ估计对应于大的，值的空间 平均ｍ（ｔ）．由等式（１）刻画的性质称为均值遍历性．当｛ｘ（，），，≥０｝是平稳过程时，（１）式 右边的ｍ（ｔ）实际上不依赖于ｆ而等于一常数ｍ，于是（１）可改写为 ｌｉｒａ Ｘ，＝／＇ｒ／． 』—＋＋—∞ 因此，尽管遍历性和平稳性是过程的两种不同性质，但在大多数情形，遍历性的讨论 是对平稳过程进行的．除了上面提到的均值遍历性外，较常见的还有相关函数遍历性 Ｈｍｉｍ。１－  ｍ）ｘ（ｒ）出＝Ｒ（ｆ） 和分布函数遍历性等等． 概率论中的大数定律是人们认识得最早的一类遍历性，它断言相互独立同分布 的随机变量序列｛ｘ（行），ｎ＝ｌ，２，３，．．．）具有均值遍历性，即当Ⅳ专佃时，序列前Ｎ的平 均（也就是时间平均） 专荟工（刀） ，． ｌｉｍ 五邑大学硕士学