IV 斯托克斯公式.pptVIP

第IV部分 斯托克斯公式 一、 斯托克斯( Stokes ) 公式 例1. 利用斯托克斯公式计算积分 例2. ? 为柱面 二、空间曲线积分与路径无关的条件 证: 例3. 验证曲线积分 三、环流量与旋度 旋度的力学意义: 斯托克斯公式①的物理意义: 例5. 设 四、向量微分算子 内容小结 2. 空间曲线积分与路径无关的充要条件 3. 场论中的三个重要概念 思考与练习 斯托克斯(1819-1903) 设 梯度: 散度: 旋度: 则 则 提示: 三式相加即得 * 运行时, 点击“(斯托克斯公式)”, 或按钮“介绍”, 将显示斯托克斯生平简介, 并自动返回. 运行时, 点击按钮“定理1”, 可看定理1 内容. 运行时, 点击按钮“定理1”, 可看定理1 内容. 运行时, 点击按钮“定理1”, 可看定理1内容. 运行时, 点击按钮“定理1”, 可看定理1 内容. 运行时, 点击按钮“公式”, 可看斯托克斯公式的其他形式. 运行时, 点击按钮“定理2”, 可看定理2内容. 运行时, 点击按钮“定理2”, 可看定理2内容. 运行时, 点击按钮“定理2”, 可看定理2内容. 例8 ( L. P348 例13 ) 三、环流量与旋度 环流量与旋度 一、斯托克斯公式 二、空间曲线积分与路径无关的条件 四、向量微分算子 定理1. 设光滑曲面 ? 的边界 ?是分段光滑曲线, (斯托克斯公式) 个空间域内具有连续一阶偏导数, ? 的 侧与 ? 的正向符合右手法则, 在包含? 在内的一 证: 情形1 ? 与平行 z 轴的直线只交于 一点, 设其方程为 为确定起见, 不妨设? 取上侧 (如图). 则有 则 (利用格林公式) 因此 同理可证 三式相加, 即得斯托克斯公式 ; 情形2 曲面? 与平行 z 轴的直线交点多于一个, 则可 通过作辅助线面把 ? 分成与z 轴只交于一点的几部分, 在每一部分上应用斯托克斯公式, 然后相加, 由于沿辅助 曲线方向相反的两个曲线积分相加刚好抵消, 所以对这 类曲面斯托克斯公式仍成立. 注意: 如果 ? 是 xoy 面上的一块平面区域, 则斯托克斯 公式就是格林公式, 故格林公式是斯托克斯公式的特例. 证毕 为便于记忆, 斯托克斯公式还可写作: 或用第一类曲面积分表示: 其中?为平面 x+ y+ z = 1 被三坐标面所截三角形的整个 解: 记三角形域为?, 取上侧, 则 边界, 方向如图所示. 利用对称性 与平面 y = z 的交线,从 z 轴正向看为顺时针, 计算 解: 设?为平面 z = y 上被 ? 所围椭圆域 , 且取下侧, 利用斯托克斯公式得 则其法线方向余弦 定理2. 设 G 是空间一维单连通域, 具有连续一阶偏导数, 则下列四个条件相互等价: (1) 对G内任一分段光滑闭曲线 ?, 有 (2) 对G内任一分段光滑曲线 ?, 与路径无关 (3) 在G内存在某一函数 u, 使 (4) 在G内处处有 由斯托克斯公式可知结论成立; (自证) 设函数 则 同理可证 故有 若(3)成立, 则必有 因P, Q, R 一阶偏导数连续, 故有 同理 与路径无关, 并求函数 解: 令 ? 积分与路径无关, 因此 斯托克斯公式 设曲面 ? 的法向量为 曲线 ?的单位切向量为 则斯托克斯公式可写为 令 , 引进一个向量 记作 向量 rot A 称为向量场 A 的 称为向量场A 定义: 沿有向闭曲线 ?的环流量. 或 ① 于是得斯托克斯公式的向量形式 : 旋度 . 设某刚体绕定轴 l 转动, M为刚体上任一 点, 建立坐标系如图, 则 角速度为 ?, 点 M 的线速度为 (此即“旋度”一词的来源) 向量场 A 产生的旋度场 穿过 ? 的通量 注意 ? 与 ? 的方向形成右手系! 为向量场 A 沿 ?的环流量 例4. 求电场强度 的旋度 . 解: (除原点外) 这说明, 在除点电荷所在原点外, 整个电场无旋. 的外法向量, 计算 解: 定义向量微分算子: 它又称为▽( Nabla )算子, 或哈密顿( Hamilton ) 算子. 则 则 高斯公式与斯托克斯公式可写成: 1. 斯托克斯公式 在?内与路径无关 在?内处处有 在?内处处有 设 P, Q, R 在?内具有一阶连续偏导数, 则 * 运行时, 点击“(斯托克斯公式)”, 或按钮“介绍”, 将显示斯托克斯生平简介, 并自动返回. 运行时, 点击按钮“定理1”, 可看定理1 内容. 运行时, 点击按钮“定理1”, 可看定理1 内容. 运行时, 点击按钮“定理1”, 可看定理1内容. 运行时, 点击按钮“定理1”, 可看定理1 内容. 运行时, 点击按钮“公式