§37 特征函数.ppt

条件密度函数的性质 §3.7 特征函数 1. 特征函数的定义 2. 特征函数的性质 通过前面的讨论,我们已经知道如何去计算随机变量的数字特征，数字特征一般由各阶矩决定，随着阶数的增高，矩的计算总是较麻烦的。 1.特征函数的定义 定义 设ξ为一个随机变量, 称 本章的参考文献 [1] 同济大学应用数学系.概率统计简明教程.北京:高等教育出版社,2003,7. [2] 盛骤,谢式千,潘承毅.概率论与数理统计(3版).北京:高等教育出版社,2001,12. [3] 梁之舜,邓集贤,杨维权,司徒荣,邓永录. 概率论与数理统计(2版).北京: 高等教育出版社,1988,10. [4] 韩旭里,王家宝,陈亚力,裘亚峥. 概率论与数理统计.北京:科学出版社,2004. * * 概率论 中南大学数学院 概率统计课程组 在前一章中，对离散型随机变量，我们曾经研究了ξ在已知发生的条件下的分布问题，并称P(ξ =xi|η =yj)为条件分布，类似的问题对连续型随机变量也存在。 §3.6 条件分布与条件期望、 回归与第二类回归 设 ( ξ ,η ) 是二维连续型随机变量，由于 无意义，因此我们利用极限的方法来引入条件分布函数的概念。 定义：给定 y，设对于任意固定的正数? ， P{ y-? η? y +? }0, 若对于任意实数 x，极限 存在，则称为在条件η= y下ξ的条件分布函数， 写成 P{ ξ? x |η= y }，或记为 Fξ|η(x|y). 称为在条件η= y下X的条件分布函数. 称为随机变量ξ在η=y的条件下的条件密度函数. 称为随机变量ξ在η=x的条件下的条件密度函数. 是密度函数． 简言之， 性质2 ，有 对任意的 性质1 x 也有类似的性质。 对于条件密度函数 例24 ; 试求： （2） （1） ; 解： 求：(1) (2) (3) y x 1 0 y x 1 0 y x 1 0 y x 1 0 1/2 例25 ~ 又随机变量η的边缘密度函数为 结论：二元正态分布的条件分布是一元正态分布， 另一方面，由于随机现象错综复杂，一个随机现象往往需要多个随机变量来描述，甚至需要讨论一列随机变量依某种意义的收敛，从前面的讨论我们就看到，只利用分布函数和密度函数，求独立随机变量的和的分布都是较麻烦的（要计算密度的卷积），要解决复杂得多的问题，没有更优越的数学工具是不行的. 为随机变量ξ的特征函数,记为c.f. 离散随机变量的特征函数: 有 连续型随机变量的特征函数: 2. 特征函数的性质 性质 (1) 在R =(-∞,∞)上一致连续,且 其中n为任意的正整数. 性质 (2):特征函数 具有非负定性。即有: 性质(3): 的C.f, 性质(4): 设 的C.f分别为 ， 又 相互独立，则 的C.f为 性质(5): 设 的n阶矩存在，则 的可C.f微分n次，且对任意 ，有 即 第三章结束!