【课堂新坐标】（教师用书）2013-2014学年高中数学 第2章 数列章末归纳提升 苏教版必修5.docVIP

【课堂新坐标】（教师用书）2013-2014学年高中数学 第2章 数列章末归纳提升 苏教版必修5 数列一般数列分类有穷数列无穷数列数列与函数的关系表示方法列表法图象法解析法通项公式在实际中的应用特殊数列等差数列等比数列通项公式应用定义前n项 和公式性质 数列通项公式的求法 数列的通项公式是数列的核心内容之一．它如同函数中的解析式一样，对研究数列的性质起着重要的作用．围绕数列的通项公式，不仅可以判断数列的类型，研究数列的项的变化规律与趋势，而且还便于研究数列的前n项和，因此求数列的通项公式往往是解决数列问题的突破口．在解题时，根据题目所给条件的不同，可以采用不同的方法求数列的通项公式，常见方法有观察法、累加法、累乘法、前n项和法、构造法等． 　已知数列{an}分别满足以下条件，求通项公式an. (1)a1＝1，an＋1－an＝n(nN*)； (2)数列{an}的前n项和为Sn＝an－3. 【思路点拨】　(1)已知a1且an＋1－an＝f(n)，故用累加法； (2)条件是关于an，Sn的关系式，利用n≥2时，an＝Sn－Sn－1消去Sn转化为an与an－1的关系． 【规范解答】　(1)an＋1－an＝n， a2－a1＝1， a3－a2＝2， a4－a3＝3， …… an－an－1＝n－1. 将以上各式叠加，得an－a1＝1＋2＋…＋(n－1)＝. an＝a1＋＝1＋＝ (2)Sn＝an－3， n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝an－an－1. ＝3(n≥2)． 而当n＝1时，有a1＝a1－3，a1＝6， {an}是以6为首项，3为公比的等比数列， an＝6×3n－1＝2×3n. 分别求满足下列条件的数列{an}的通项公式： (1)a1＝1，＝； (2)a1＝1，an＋1＝an＋1. 【解】　(1)＝， n≥2时，×××…×＝×××××…××＝，即＝. 又a1＝1，an＝. 而a1＝1也适合上式， {an}的通项公式an＝n(n＋1)． (2)令an＋1－p＝(an－p)(p为常数)， 即an＋1＝an＋p，又an＋1＝an＋1， ＝1，p＝3， an＋1－3＝(an－3)． 故数列{an－3}是首项为－2，公比为的等比数列． an－3＝－2×()n－1， an＝3－2×()n－1. 数列求和 求数列的和是数列运算的重要内容之一．数列求和可分为特殊数列求和与一般数列求和，特殊数列就是指等差或等比数列，非等差或非等比数列称为一般数列．对于特殊数列的求和，要恰当的选择、准确的应用求和公式，采用公式法直接求和；对于一般的数列求和，可采用分组化归法、并项转化法、倒序相加法、错位相减法、裂项相消法、分段求和法等． 　已知数列{an}是各项为正数的等比数列，且a1＋a2＝2(＋)，a3＋a4＋a5＝64(＋＋)． (1)求{an}的通项公式； (2)设bn＝(an＋)2，求数列{bn}的前n项和Tn. 【思路点拨】　(1)由已知条件列方程组求a1，q； (2)求出bn表达式后，用分组化归法求Tn. 【规范解答】　(1)设{an}公比为q，则an＝a1qn－1. 由已知有 化简，得 又a10， 所以 所以an＝2n－1. (2)由(1)知bn＝(an＋)2＝a＋＋2＝4n－1＋＋2. 因此Tn＝(1＋4＋…＋4n－1)＋(1＋＋…＋)＋2n＝＋＋2n＝(4n－41－n)＋2n＋1. 数列{an}中，a1＝8，a4＝2，且满足an＋2－2an＋1＋an＝0. (1)求数列的通项公式an及前n项和Sn. (2)设Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|，求Tn. 【解】　(1)an＋2－2an＋1＋an＝0， an＋2－an＋1＝an＋1－an， {an}是以a1为首项的等差数列． 设an＝a1＋(n－1)d，则a4＝a1＋3d， d＝＝－2，an＝8＋(－2)(n－1)＝10－2n. Sn＝＝9n－n2. (2)an＝10－2n，令an＝0，得n＝5. 当n＞5时，an＜0； 当n＝5时，an＝0； 当n＜5时，an＞0. 当n＞5时，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋a5－(a6＋a7＋…＋an)＝S5－(Sn－S5)＝2S5－Sn＝2×(9×5－52)－(9n－n2)＝n2－9n＋40； 当n≤5时，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋an＝Sn. Tn＝ 数列与函数、方程、不等式的综合应用 数列是一类特殊的函数，用函数的观点认识数列问题，并结合方程、不等式的知识解决数列问题，既有利于理解和掌握数列的基本概念和性质，又有利于解决问题． 　已知数列{an}的首项a1＝，an＋1＝，n＝1,2，…， (1)求{an}的通项公式； (2)证明：对任意的x＞0，an≥－(－x)，n＝1,2，…； (3)