【课堂新坐标】（教师用书）2013-2014学年高中数学 3.1.1+2 数学归纳法原理 数学归纳法的应用举例课后知能检测 新人教B版选修4-5.docVIP

【课堂新坐标】（教师用书）2013-2014学年高中数学 3.1.1+2 数学归纳法原理 数学归纳法的应用举例课后知能检测 新人教B版选修4-5 一、选择题 1．用数学归纳法证明“2nn2＋1对于n≥n0的正整数n都成立”时，这一步证明中的起始值n0应取(　　) A．2　　　　B．3　　　　C．5　　　　D．6 【解析】　当n≤4时，2nn2＋1；当n≥5时，2nn2＋1.故n0应取5. 【答案】　C 2．某个与正整数n有关的命题，如果当n＝k(kN＋且k≥1)时命题成立，则一定可推得当n＝k＋1时，该命题也成立．现已知n＝5时，该命题不成立，那么应有(　　) A．当n＝4时该命题成立 B．当n＝6时该命题成立 C．当n＝4时该命题不成立 D．当n＝6时该命题不成立 【解析】　若n＝4时命题成立，由递推关系知n＝5时命题成立，与题中条件矛盾，n＝4时，该命题不成立． 【答案】　C 3．记凸k边形的内角和为f(k)，则凸k＋1边形的内角和f(k＋1)＝f(k)＋(　　)(　　) A. B．π C．2π D.π 【解析】　n＝k到n＝k＋1时，内角和增加π. 【答案】　B 4．已知1＋2×3＋3×32＋4×33＋…＋n×3n－1＝3n(na－b)＋c对一切nN＋成立，则a，b，c的值为(　　) A．a＝，b＝c＝ B．a＝b＝c＝ C．a＝0，b＝c＝ D．不存在这样的a，b，c 【解析】　等式对任意nN＋都成立， 当n＝1,2,3时也成立． 即 解得 【答案】　A 二、填空题 5．用数学归纳法证明：设f(n)＝1＋＋＋…＋，则n＋f(1)＋f(2)＋…＋f(n－1)＝nf(n)(nN＋，且n≥2)第一步要证明的式子是________． 【解析】　n＝2时，等式左边＝2＋f(1)，右边＝2f(2)．第一步要证明的式子是：2＋f(1)＝2f(2)． 【答案】　2＋f(1)＝2f(2) 6．用数学归纳法证明“nN＋，n(n＋1)(2n＋1)能被6整除”时，某同学证法如下： (1)n＝1时1×2×3＝6能被6整除， n＝1时命题成立． (2)假设n＝k时成立，即k(k＋1)(2k＋1)能被6整除，那么n＝k＋1时， (k＋1)(k＋2)(2k＋3)＝(k＋1)(k＋2)[k＋(k＋3)] ＝k(k＋1)(k＋2)＋(k＋1)(k＋2)(k＋3)． k、k＋1、k＋2和k＋1、k＋2、k＋3分别是三个连续自然数． 其积能被6整除．故n＝k＋1时命题成立． 综合(1)、(2)，对一切nN＋，n(n＋1)(2n＋1)能被6整除． 这种证明不是数学归纳法，主要原因是________． 【答案】　没用上归纳假设 三、解答题 7．证明：12－22＋32－42＋…＋(2n－1)2－(2n)2 ＝－n(2n＋1)． 【证明】　(1)当n＝1时，左边＝12－22＝－3， 右边＝－1×(2×1＋1)＝－3，等式成立． (2)假设n＝k(k≥1，kN＋)时，等式成立，就是 12－22＋32－42＋…＋(2k－1)2－(2k)2＝－k(2k＋1)． 当n＝k＋1时， 12－22＋32－42＋…＋(2k－1)2－(2k)2＋(2k＋1)2－(2k＋2)2 ＝－k(2k＋1)＋(2k＋1)2－(2k＋2)2 ＝－k(2k＋1)－(4k＋3) ＝－(2k2＋5k＋3)＝－(k＋1)[2(k＋1)＋1]， 所以n＝k＋1时等式也成立． 综合(1)(2)可知，等式对任何nN＋都成立． 8．已知f(n)＝(2n＋7)·3n＋9，是否存在自然数m，使得对任意nN＋，都能使m整除f(n)？如果存在，求出最大的m值，并证明你的结论；若不存在，请说明理由． 【解】　存在，m＝36. 证明如下： (1)当n＝1时，f(1)＝36，能被36整除； (2)假设当n＝k(kN＋，且k≥1)时，f(k)能被36整除， 即f(k)＝(2k＋7)·3k＋9能被36整除， 则当n＝k＋1时，f(k＋1)＝[2(k＋1)＋7]·3k＋1＋9＝3[(2k＋7)·3k＋9]＋18(3k－1－1)． 由归纳假设3[(2k＋7)·3k＋9]能被36整除，而3k－1－1是偶数，所以18(3k－1－1)能被36整除， 所以f(k＋1)能被36整除． 由(1)(2)，得f(n)能被36整除，由于f(1)＝36，故能整除f(n)的最大整数是36，即m＝36. 9．设数列{an}的前n项和为Sn，且方程x2－anx－an＝0有一根为Sn－1，n＝1,2,3，…. (1)求a1，a2； (2)猜想数列{Sn}的通项公式，并给出严格证明． 【解】　(1)Sn－1是方程x2－anx－an＝0的一个根， (Sn－1)2－an·(Sn－1)－an＝0， (Sn－1)2－anSn＝0， 当n＝1时，a1＝， 当n＝2时，a2＝