【课堂新坐标】（教师用书）2013-2014学年高中数学 2.2.2 反证法课后知能检测 新人教A版选修1-2.docVIP

【课堂新坐标】（教师用书）2013-2014学年高中数学 2.2.2 反证法课后知能检测 新人教A版选修1-2 一、选择题 1．应用反证法推出矛盾的推导过程中，要把下列哪些作为条件使用(　　) 结论的否定，即假设；原命题的条件；公理、定理、定义等；原命题的结论． A．　　B．　　C．　　D． 【解析】　由反证法的定义可知应选C. 【答案】　C 2．(2013·海口高二检测)用反证法证明命题：三角形三个内角至少有一个不大于60°时，应假设(　　) A．三个内角都不大于60° B．三个内角都大于60° C．三个内角至多有一个大于60° D．三个内角至多有两个大于60° 【解析】　三个内角至少有一个不大于60°，即有一个、两个或三个不大于60°，其反设为都大于60°，故B正确． 【答案】　B 3．实数a，b，c不全为0等价于(　　) A．a，b，c均不为0 B．a，b，c中至多有一个为0 C．a，b，c中至少有一个为0 D．a，b，c中至少有一个不为0 【解析】　实数a，b，c不全为0，即a，b，c至少有一个不为0，故应选D. 【答案】　D 4．(1)已知p3＋q3＝2，求证p＋q≤2.用反证法证明时，可假设p＋q≥2. (2)已知a，bR，|a|＋|b|1，求证方程x2＋ax＋b＝0的两根的绝对值都小于1.用反证法证明时可假设方程有一根x1的绝对值大于或等于1，即假设|x1|≥1.以下结论正确的是(　　) A．(1)与(2)的假设都错误 B．(1)与(2)的假设都正确 C．(1)的假设正确；(2)的假设错误 D．(1)的假设错误；(2)的假设正确 【解析】　(1)的假设应为p＋q2；(2)的假设正确． 【答案】　D 5．下列命题不适合用反证法证明的是(　　) A．同一平面内，分别与两条相交直线垂直的两条直线必相交 B．两个不相等的角不是对顶角 C．平行四边形的对角线互相平分 D．已知x，yR，且x＋y＞2，求证：x，y中至少有一个大于1 【解析】　A中命题条件较少，不易正面证明；B中命题是否定性命题，其反设是显而易见的定理；D中命题是至少性命题，其结论包含两种情况，而反设只有一种情况，适合用反证法证明． 【答案】　C 二、填空题 6．命题“三角形中最多只有一个内角是直角”的否定是______________． 【解析】　“最多”的反面是“最少”，故本题的否定是：三角形中最少有两个内角是直角． 【答案】　“三角形中最少有两个内角是直角” 7．用反证法证明命题“若a2＋b2＝0，则a，b全为0(a、b为实数)”，其反设为________． 【解析】　“a、b全为0”即“a＝0且b＝0”，因此它的反设为“a≠0或b≠0” 【答案】　“a、b不全为0” 8．用反证法证明“一个三角形不能有两个直角”有三个步骤： A＋B＋C＝90°＋90°＋C180°，这与三角形内角和为180°矛盾，故假设错误． 所以一个三角形不能有两个直角． 假设ABC中有两个直角， 不妨设A＝90°，B＝90°. 上述步骤的正确顺序为________． 【答案】　 三、解答题 9．(2013·泰安高二检测)用反证法证明：无论m取何值，关于x的方程x2－5x＋m＝0与2x2＋x＋6－m＝0至少有一个有实数根． 【解】　假设存在实数m，使得这两个方程都没有实数根， 则解得无解． 与假设存在实数m矛盾．故无论m取何值，两个方程中至少有一个方程有实数根． 10．已知a＋b＋c＞0，ab＋bc＋ca＞0，abc＞0，求证：a＞0，b＞0，c＞0. 【证明】　假设a＜0，由abc＞0得bc＜0， 由a＋b＋c＞0，得b＋c＞－a＞0， 于是ab＋bc＋ca＝a(b＋c)＋bc＜0，这与已知矛盾． 又若a＝0，则abc＝0，与abc＞0矛盾， 故a＞0， 同理可证b＞0，c＞0. 11．若x，y，z均为实数，且a＝x2－2y＋，b＝y2－2z＋，c＝z2－2x＋，则a，b，c中是否至少有一个大于0？请说明理由． 【解】　假设a，b，c都不大于0， 即a≤0，b≤0，c≤0，则a＋b＋c≤0. 而a＋b＋c＝x2－2y＋＋y2－2z＋＋z2－2x＋ ＝(x－1)2＋(y－1)2＋(z－1)2＋π－3， 因为π－30，且无论x，y，z为何实数， (x－1)2＋(y－1)2＋(z－1)2≥0， 所以a＋b＋c0. 这与假设a＋b＋c≤0矛盾． 因此，a，b，c中至少有一个大于0.