核按钮2017高考数学一轮复习 第十章 计数原理、概率、随机变量及其分布 10.9 离散型随机变量的均值与方差习题 理.doc

§10.9　离散型随机变量的均值与方差 1．离散型随(1)若离散型随机变量X的概率分布列为 X x则称E(X)＝__________________为随机变量X的均值或数学期望它反映了离散型随机变量取值的____________．(2)若Y＝aX＋b其中a为常数则Y也是随机变量于是E(Y)＝____________________.(3)①若X服从两点分布则E(X)＝____________；若X～B(n)，则E(X)＝____________.离散型随机变量的方差(1)若离散型随机变量X的概率分布列为X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 则称D(X)＝__________为随机变量X的方差其算术平方根________为随机变量X的标准差．(2)D(aX＋b)＝____________.(3)①若X服从两点分布则D(X)＝_________；若X～B(n)，则D(X)＝____________.方差反映随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度：D(X)越小取值越集中(X)越大取值越分散．自查自纠1．(1)x1p1＋x＋…＋x＋…＋x　平均水平(2)aE(X)＋b　(3)①p　②np(1)(xi－E(X))　　(2)a2D(X) (3)①p(1－p)　②np(1－p) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ()已知随机变量X的分布列如下表则E(X)＝(　　) 3 P 0.2 0.2 y A.0.4 B．1.2 C．1.6 D．2 解：由0.2＋0.2＋y＝1得y＝0.6从而计算得X的期望为2.故选 ()已知离散型随机变量X的分布列为－1 0 1 P x 则X的数学期望E(X)＝(　　)－ C. D. 解：依题意得：＋＋x＝1所以x＝(X)＝(－1)×＋0×＋1×＝故选 ()已知随机变量X的分布列为P(X＝k)＝＝1则D(3X＋5)＝(　　)解：由E(X)＝(1＋2＋3)＝2得D(X)＝(3X＋5)＝3(X)＝6.故选 有一批产品其中有12件正品和4件次品从中有放回地任取3件若ξ表示取到次品的个数则D(ξ)＝__________．由题知次品率p＝＝则ξ～B从而(ξ)＝3×＝故填 ()随机变量ξ的取值为0若P(ξ＝0)＝(ξ)＝1则D(ξ)＝__________．解：设P(ξ＝1)＝p则ξ的分布列如下：ξ 0 1 2 P p －pE(ξ)＝1得p＋2＝1可得p＝(ξ)＝(0－1)＋(1－1)＋(2－1)＝故填 类型一　摸球模型、抽签模型　一口袋中装有大小相同的2个白球和4个黑球每次从袋中任意摸出一个球．(1)采取有放回抽样方式从中摸出两个球求两球恰好颜色不同的概率；(2)采取不放回抽样方式从中摸出两个球求摸得白球的个数的均值和方差．解：(1)“有放回摸取”可看作独立重复试验每次摸出一球是白球的概率为P＝＝记“有放回摸两次颜色不同”为事件A其概率为P(A)＝(2)设摸得白球的个数为X则X的取值为0(X＝0)＝＝(X＝1)＝＋＝(X＝2)＝＝的分布列为X 0 1 2 P E(X)＝0×＋1×＋2×＝(X)＝＋＋ ＝求离散型随机变量的就本题而言弄清“放回”与“不放回”在概率计算上的区别是正确解题的关键．均值与方差直接套用公式计算即可．　一厂家向用户提供的一箱产品共10件其中有2件次品用户先对产品进行抽检以决定是否接收．抽检规则如下：一次取一件产品检查(取出的产品不放回箱子)共抽查三次若三次都没有抽查到次品则用户接收这箱产品若抽查到次品就立即停止抽检并且用户拒绝接收这箱产品．(1)求这箱产品被用户接收的概率；(2)记抽检的产品件数为X，求X的分布列和均值．解：(1)设“这箱产品被用户接收”为事件A(A)＝＝即这箱产品被用户接收的概率为(2)X的可能取值为1(X＝1)＝＝(X＝2)＝＝P(X＝3)＝×＝的概率分布列为X 1 2 3 P ∴E(X)＝＋＋＝类型二　停止型问题　某地区试行高考考试改革：在高三学年中举行5次统一测试学生如果通过其中2次测试即可获得足够学分升上大学继续学习不用参加其余的测试而每个学生最多也只能参加5次测试．假设某学生每次通过测试的概率都是每次测试通过与否相互独立．规定：若前4次都没有通过测试则不能参加第5次测试．(1)求该学生获得足够学分升上大学的概率；(2)如果获得足够学分升上大学或参5次测试就结束记该生参加测试的次数为X求变量X的分布列及均值(X)．解：(1)记“该生考上大学”为事件A其对立事件为则(A)＝＋＝＋＝(A)＝1－P()＝1－＝(2)该生参加测试次数X的可能取值为2(X＝2)＝＝(X＝3)＝×××＝(X＝4)＝＋＝＋＝(X＝5)＝＝故X的分布列为 ∴E(X)＝2×＋3×＋4×＋5×＝达到