第二届大学生数学竞赛(数学专业组)试卷.docVIP

广东第二师范学院 第二届大学生数学竞赛（数学专业组）试卷 （ A ）卷 姓名 学号 系级班别 试题 一 二 三 四 五 总分 分值 100分 得分 评卷教师（签名） 考试有关事项说明 考试日期：2013年9月14日 考试用时：150分钟 考试地点：花都校区教学楼、海珠校区综合楼 考试形式：闭卷 一、计算题（每题6分，共30分） 分值 30 得分 1．求极限. 2．设由方程在点附近的凹凸性. 3.设，其中函数具有二阶连续导数，求. 4．已知曲面的切平面平行于平面，求该切平面方程. 5．求二重积分，其中. 二、解答题、证明题（每题10分,共70分） 分值 70 得分 1．求极限，其中是给定的正整数. 2．已知连续函数满足， （1）判定级数的敛散性； （2）求极限. 3．求幂级数的收敛半径、和函数. 4. 求与两直线都相交，且与双曲线 也相交的动直线所形成的曲面方程，并说明该曲面的形状名称. 5. 设元方程组，其中，，. （1）证明：行列式； （2）取何值，方程组有唯一解？求； （3）取何值，方程组有无穷多解？求通解. 6. 设是实方阵，若对于实数，存在非零向量及自然数，使得，则称是的属于的根向量. 试证： （1）若的属于的根向量存在，则是的特征值. （2）若是的特征值，则的属于的根向量存在；并问属于的所有根向量添上零向量的集合能否作成的子空间？为什么? （3）的属于不同特征值的根向量必线性无关. 7．设对任意，有，，试证. 科目名称：高等数学竞赛 第 1 页 共 8页