《导学教程》专题三第2讲数列求和及数列的综合应用.pptVIP

名师押题高考 [押题依据]　求数列的通项公式与数列的前n项和都是高考的热点．本题综合考查了以上两点及等差数列的求和公式，考查数列知识全面，综合性较强，故押此题． 【押题2】已知数列{an}是首项a1＝1的等比数列，且an＞0，{bn}是首项为1的等差数列，又a5＋b3＝21，a3＋b5＝13. (1)求数列{an}和{bn}的通项公式； [押题依据]　数列求和中的错位相减法因运算量较大，结构形式复杂．能够较好地考查考生的运算能力，有很好的区分度，而备受命题者青睐．本题综合考查了等差、等比数列的通项公式及错位相减法求和，难度中等，故押此题． 课时训练提能 本讲结束 请按ESC键返回 数学(理科) 自主学习导引 高频考点突破 名师押题高考 课时训练提能 菜 单 第一部 专题三 数列、推理与证明 第2讲　 数列求和 及数列的综合应用 真题感悟 自主学习导引 答案　A 2．(2012·浙江)已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2n2＋n，n∈N＋，数列{bn}满足an＝4log2bn＋3，n∈N＋. (1)求an，bn； (2)求数列{an·bn}的前n项和Tn. 解析　(1)由Sn＝2n2＋n，得 当n＝1时，a1＝S1＝3； 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝4n－1. 所以an＝4n－1，n∈N＋. 由4n－1＝an＝4log2bn＋3，得bn＝2n－1，n∈N＋. (2)由(1)知anbn＝(4n－1)·2n－1，n∈N＋， 所以Tn＝3＋7×2＋11×22＋…＋(4n－1)·2n－1， 2Tn＝3×2＋7×22＋…＋(4n－5)·2n－1＋(4n－1)·2n， 所以2Tn－Tn＝(4n－1)2n－[3＋4(2＋22＋…＋2n－1)]＝(4n－5)2n＋5. 故Tn＝(4n－5)2n＋5，n∈N＋. 数列的求和是高考的必考内容，可单独命题，也可与函数、不等式等综合命题，求解的过程体现了转化与化归的数学思想，解答此类题目需重点掌握几类重要的求和方法，并加以灵活应用． 考题分析 网络构建 高频考点突破 考点一： 裂项相消法求数列的前n项和 【规律总结】 常用的裂项技巧和方法 用裂项相消法求和是最难把握的求和问题之一，其原因是有时很难找到裂项的方向．突破这类问题的方法是根据式子的结构特点，掌握一些常见的裂项技巧，如： 【变式训练】 考点二： 错位相减法求数列的前n项和 【例2】(2012·滨州模拟)设等比数列{an}的前n项和为Sn，已知an＋1＝2Sn＋2(n∈N＋)． (1)求数列{an}的通项公式； [规范解答]　(1)由an＋1＝2Sn＋2(n∈N＋)， 得an＝2Sn－1＋2(n∈N＋，n≥2)， 两式相减得an＋1－an＝2an， 即an＋1＝3an(n∈N＋，n≥2)， 又a2＝2a1＋2， ∵{an}是等比数列，所以a2＝3a1， 则2a1＋2＝3a1， ∴a1＝2，∴an＝2·3n－1. 【规律总结】 错位相减法的应用技巧 (1)设数列{an}为等差数列，数列{bn}为等比数列，求数列{anbn}的前n项和可用错位相减法． 应用错位相减法求和时需注意： (2)①给数列和Sn的等式两边所乘的常数应不为零，否则需讨论； ②在转化为等比数列的和后，求其和时需看准项数，不一定为n. 【变式训练】 2．已知等差数列{an}满足：an＋1＞an(n∈N＋)，a1＝1，该数列的前三项分别加上1、1、3后顺次成为等比数列{bn}的前三项． (1)求数列{an}，{bn}的通项公式； 解析　(1)设d、q分别为数列{an}的公差、数列{bn}的公比． 由题意知，a1＝1，a2＝1＋d，a3＝1＋2d，分别加上1、1、3得2、2＋d、4＋2d， ∴(2＋d)2＝2(4＋2d)，∴d＝±2. ∵an＋1＞an，∴d＞0，∴d＝2， ∴an＝2n－1(n∈N＋)， 由此可得b1＝2，b2＝4，∴q＝2，∴bn＝2n(n∈N＋)． 考点三： 数列与不等式的综合问题 【例3】已知数列{an}的前n项和Sn满足：Sn＝a(Sn－an＋1)(a为常数，且a≠0，a≠1)． (1)求{an}的通项公式； [审题导引]　第(1)问先利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)把Sn与an的关系式转化为an与an－1之间的关系，判断数列的性质，求其通项公式； (2)根据第(1)问，求出数列{bn}的前三项，利用b＝b1×b3列出方程即可求得a的值； (3)先求出数列{cn}的通项公式，根据所求证问题将其放缩，然后利用数列求和公式证明． 【规律总结】 数列与不等式综合问题的解题方法 (1)在解决与数列有关的不等式问题时，需注意应用函数与方程的思想方法，如函数的单调性、最值等． (2)在数列的恒成立问题中，有时需先求和，为了证明