第五天(不等式).docVIP

一．不等式的性质： 1．同向不等式可以相加；异向不等式可以相减：若，则（若，则），但异向不等式不可以相加；同向不等式不可以相减； 2．左右同正不等式：同向的不等式可以相乘，但不能相除；异向不等式可以相除，但不能相乘：若，则（若，则）； 3．左右同正不等式：两边可以同时乘方或开方：若，则或； 4．若，，则；若，，则。 二．不等式大小比较的常用方法： 1．作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果； 2．作商（常用于分数指数幂的代数式）；3．分析法；4．平方法；5．分子（或分母）有理化； 6．利用函数的单调性； 7．寻找中间量或放缩法 ； 8．图象法。其中比较法（作差、作商）是最基本的方法。 三.需要记忆的常用不等式有：（1）(根据目标不等式左右的运算结构选用) ；（2）a、b、cR，（当且仅当时，取等号）；（3）若，则（糖水的浓度问题）。 四．证明不等式的方法：比较法、分析法、综合法和放缩法(比较法的步骤是：作差（商）后通过分解因式、配方、通分等手段变形判断符号或与1的大小，然后作出结论。). 常用的放缩技巧有： 五、常用不等式： （1）(当且仅当a＝b时取“=”号)． (当且仅当a＝b时取“=”号)． （4）柯西不等式 （5）. 例题1、已知二次函数满足，，求的取值范围。 错解：，， 又 正解：设，则有，即 又， ， 剖析：在多次应用不等式样性质的时候，若等号不能同时成立时，会使所求范围扩大，因此在解不等式范围的题时务必要检查等号能否成立。 例题3、已知，求的最大值。 错解： ，即的最大值为。 正解1： 因此，当且仅当时，的最大值为。 正解2：（用导数知识解）， ，令，得或 又，且当时，；当时， 当时，的最大值为。 剖析：在应用均值不等式解题时，忽视了均值不等式中等号成立的条件：“一正、二定、三相等”中的第三个条件，因为无论在中取何值，等式都不成立。 例题4、已知且，关于的不等式的解集是，解关于的不等式的解集。 错解： 正解：因为关于的不等式的解集是，所以，故 或 原不等式的解集是。 剖析：其一、忽视了所给条件的应用和对数的真数大于，其二、忽视了分式不等式正确解法。 例题5、已知：、都是正数，且，，，求的最小值。 错解：、都是正数， ，即的最小值为4。 正解：、都是正数，且， 当且仅当时，的最小值为。 剖析：中等号成立的条件是当且仅当，而 中等号成立的条件是当且仅当。这与矛盾， 因此解题中忽视了条件，从而造成错误。 总结：不等式证明的错解的成因及分析策略 不等式的证明方法有很多,如:基本不等式法、比较法、综合法、分析法、反证法、判别　　　　　　　　 　式法、换元法、数学归纳法、放缩法、导数法、公式法(向量公式、方差公式、斜率公式等)、数形结合法等等.不等式的证明过程,是常规的证明方法及构造性思维在新的领域中的移植和运用,以及局部的创新.但在实际教学活动中我们发现,学生对于不等式证明上存在着一定的思维障碍,并仍有不少学生沉醉于“题海战术”之中,阻碍着创造性思维能力的发展. 例1．设若是与的等比中项，则的最小值为__________. 解析: 因为，所以， ，当且仅当即时“=”成立,故最小值为. 练习1.若直线经过圆的圆心,则的最小值为__________________. 例2．已知关于的不等式的解集为,则的解集为________________. 解析：由的解集为知,为方程的两个根,由韦达定理得,解得, ∴即,其解集为. 练习2.已知不等式的解集为,试用表示不等式的解集. 例3．已知且，则的取值范围为_________________. 解析：设， ∴,解得 ∴ ∴， 即. 错解：解此题常见错误是：－1＜a+b＜3， ① 2＜a－b＜4. ② ①+②得1＜2a＜7. ③ 由②得－4＜b－a＜－2. ④ ①+④得－5＜2b＜1，∴－＜3b＜. ⑤ ③+⑤得－＜2a+3b＜. 另:本题也可用线性规划来解. 不等式