孤立奇点的应用.docVIP

3　孤立奇点类型的应用 孤立奇点的一个重要应用就是孤立奇点处的留数的计算，不同孤立奇点处的留数计算方法不同，所以我们必须正确判断孤立奇点的类型，我们通常遇到的是极点处的留数计算． 3.1 留数的定义 定义6：设是解析函数的孤立奇点，我们把在处的洛朗展开式中负一次幂项的系数称为在处的留数．记作 ， 即 =． 显然，留数就是积分的值，其中C为解析函数的的去心邻域内绕的闭曲线． 从留数的定义可以看到，如果是的可去奇点，那么．如果是本质奇点，那就往往只能用把在展开成洛朗级数的方法来求．若是极点的情形，则可用较方便的求导数与求极限的方法得到留数． 函数在极点处的留数 在求极点处的留数时，为了避免每求一个极点处的留数，都要去求一次洛朗展式，所以，给出下面的几个定理来求阶极点处留数的公式． 3.2.1 简单法则 　　法则1：设为的阶极点， ， 其中，在点解析，，则 　　法则2：设为的一阶极点， 则 　　法则3：设为的二阶极点， 则 　　法则4：设 3.2.2 例题 例3.1 求所有孤立奇点处的留数： 解：函数有孤立奇点0和，而且易知在内有洛朗展开式 这既可以看成是函数在的去心邻域内的洛朗展开式，也可以看成是函数在的去心邻域内的洛朗展开式.所以 3.3 函数在无穷远点处的留数 3.3.1　无穷远点处的孤立奇点的定义 定义4：设函数在无穷远点（去心）领域N-{内解析，则称点为的一个孤立奇点．设点为的一个孤立奇点，利用变换,于是，在去心邻域：（如规定 ）内解析，就为的一个孤立奇点． 3.3.2　无穷远点处的留数 定义5：设为的一个孤立奇点，即在圆环域内解析，则称 （） 为在点的留数，记为，这里是指顺时针方向（这个方向很自然地可以看作是绕无穷远点的正向）. 如果在的洛朗展开式为，则有． 这里，我们要注意，即使是的可去奇点，在的留数也未必是 0，这是同有限点的留数不一致的地方. 定理5.8 如果在扩充复平面上只有有限个孤立奇点（包括无穷远点在内），设为，则在各点的留数总和为零． 关于在无穷远点的留数计算，我们有以下的规则． 法则4：