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维普资讯 维普资讯 1期 罗掌华，王光辉：一类单边约束 问题的数值方法 35 求 ∈Qt，u∈L (Q)， ∈A使得 (；，) (；u，) (7-；u，) VT∈Q0， ∈L2(Q)， ∈A (2．1) 其中 (7-；，)= (7-，7-)+(dirt，dirt+，)+(dirt+，，)+(7n， —g)rc，这里 T= V ·， 7n= T ·行， Qo={7-∈H(div，a)lr·=0，在 rF上)， Qt={7-∈H(div，a)lr·行=t，在 rF上)， A= { ∈月 (rc)lu 0，在 rc上)， 月 (rc)={ ∈H ／2(i-c)lp一1／2# L2(rc))， (rc)的范数定义为： 。。Ilull／2，r。= {luI1，2Ir。+lid一／ul1~． )／，其中d可取为 r。 ， rc上的点到 rc端点之距离 。【】4【][5】_ 变分 问题 (2．1)相应的有限元离散形式 【】： 求6rh∈Q，u^∈ ， ∈Ah，使得对于V ∈Q3，Vh∈ ， ∈Ah L(ah；Vh，^) L(ah；u^，^) L(rh；u^，^) (2．2) 这里Q3=QonQ^，Q =QtnQ九，Ah=MhnA，Q^， ，Mh分别是H(div，Q)，L(Q)， 硪 (rc)的有限元子空间．Q^取Raviart—Thomas不完全2次多项式空间引【． 为 取遍线性函数空间； Mh为 rc上连续分段线性 函数空间 引【．离散 问题 (2．2)的解的 存在唯一性证明见文献 [1】。 由 (2．2)容易推出 go(~h)+(diwh，u^)+(Oh，^)rc ()+(divrh，u^)+(Oh，^)rc，V ∈Q3(2．3) 与 (6rhn，^一 ^)rc+(diVah+，，Vh—u^) 0，V ^∈Ah，Vh∈ (2．4) 这里 (7-)= (7-，7-)+( 7-，di7-)一(，9)r。+(di7-，，) 而变分问题 (divah+，，Vh—u^)+(Ohn，^一 ^)rc 0，V ^∈Ah，Vh∈ (2．5) 等价于 【】 divah+，=0， ^=PA(pahn+ ) P0 (2．6) 维普资讯 维普资讯 1期 罗掌华，王光辉：一类单边约束问题的数值方法 37 为了逼近 (3．1)，首先用 Q^逼近 Q，Q^由剖分三角形单元组成，在每一个三角形 单元上用线性多项式逼近 u．如果 ^是在 ^上 u的逼近， {丸)是分片线性整体基函 数，那么有 (vh)i=∑ 九(z)，z∈^． 由于 九()=醒结点 ∈ ^，则有 ah(u，)= ／gradu·gradvdx ／ttJ，‘iJ，如 = ， ‘如 + t ‘ds= ^。仇出 + 鲁 仇ds 这里rF^是FF的逼近，如果 ^由{九)生成，则 0^(t^‘，^)=Ea口Ui日~)8i，FhCvh)=F孟 其 中