53 指数函数与对数函数的应用.docVIP

PAGE PAGE 198 5.3 指數函數與對數函數的應用 在這節裡，我們將介紹與指數函數和對數函數相關的一些應用問題，如：複利、細菌成長函數、放射性物質的衰退等等。 複利 (compound interest) 在日常生活中，我們常把錢存在銀行裡。假設我們將一筆錢，叫做本金(initial investment or principal)用表示，存入銀行且銀行所提供的年利率(annual interest rate)為(如8%)，若以單利(simple interest)計算，則年後的本利和(balance)用表示為 . 若以複利(compound interest)計算且每半年複利一次，則年後的本利和為 . 此公式的由來是因為，每半年複利一次，則每期的利率為，且期數為，故 。 一般而言，若一年的複利期數為，則年後的本利和公式即為 . 在理想的狀態下，我們可考慮連續複利(compounded continuously interest)的情形，亦即為時，此時根據前一節的公式 可得 () . 例題3.1 假設某人將10000元存在一銀行，而此銀行提供之年利率為8%，計算10年後在下列各情況下之本利和： (a) 每三個月複利一次。 (b) 每半年複利一次。 (c) 每個月複利一次。 (d) 連續複利。 解：(a) 因每三個月複利一次，所以且期數為40，故 . (b) 依題意，且期數為20，故 . (c) 依題意，且期數為120，故 . (d) 依題意 . 現值 (present value) 有的時候為了繳交學費或水電費，我們必須先在銀行存一筆錢，以便到時能拿來繳費。我們將現在存進銀行、以後才要使用的這筆錢稱為現值，用表示，而需要使用的錢用表示，則在連續複利的形下 . 其中為年利率，的單位為年。 例題3.2 小明即將進入一大學就讀，為了要支付4年學費，小明欲將一筆錢存入銀行，使得每年皆有40000元可以支付學費。而銀行所提供的年利率為6%，且為連續複利，試求出小明現在必須存入銀行的錢的數額。 解：這筆錢可分為四部分， 第一部份為支付第一年的40000元，其現值為40000； 第二部份為支付第二年的40000元，其現值為； 第三部份為支付第三年的40000元，其現值為； 第四部份為支付第四年的40000元，其現值為； 故這筆錢為 . 指數成長函數 (exponential growth functions) 在研究細菌成長的過程中，我們發現其成長速率與當時的數目成正比，若用代表細菌的數量，代表時間，則 . 其中為大於0的常數。而滿足此一方程式的函數我們可解得 (見7.1) . 其中為一常數。此種函數稱為指數成長函數。 例題3.3 已知某細菌的生長過程為一指數成長函數，且一開始的數量為1000隻，而在20分鐘後變為3000隻，求一小時後細菌的數量。 解：設為時間，單位為分鐘，為細菌的數量，則 . 依題意，所以，亦即 . 又， 故 ， 解得 ，() 即 . 而一小時後的數量為 . (隻) 指數衰退函數 (exponential decay functions) 考古學者在計算某化石的年紀時，是根據化石中碳14的存量來推斷的，而化石中碳14 ()的存量會隨著時間而減少，其減少的速率是與當時的存量成正比，亦即，如以代表時間，單位為年，化石中碳14的存量為，則 . 其中為大於0的常數。而滿足上述方程式的函數我們可解得 (見7.1) . 其中為一常數。此種函數稱為指數衰退函數。 例題3.4 某放射性物質經過3000年後數量會減半，試求需經過多少年，該物質的殘存量會變為原來的？ 解：由於放射性物質的衰退是指數型的，若代表年，為此物質的量，則 . 依題意， . 所以 (1) 所求之會使， 亦即的解， 由(1)式知 . 解得. 例題3.5 一城市的人口密度是由()來決定的，其中為距離市中心的距離，單位為公里。試回答下列問題： (a) 市中心的人口密度為何？ (b) 距離市中心10公里處的人口密度。 解：(a) 依題意，所求為(). (b) 依題意，所求為(). 半衰期 (half-life) 任何放射性物質都有所謂的半衰期，亦即數量減半所需經過的時間。如碳14的半衰期為5730年。一般而言，若一放射性物質的數量為 ， 則半衰期即為的解。 所以 為半衰期的公式，如右圖。