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5.3 二阶微分方程 课题： 二阶微分方程 目的要求： （１）知道特殊的高阶微分方程的降阶法。 （２）了解二阶线性微分方程解的结构。 （３）熟练掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法。 重点： 二阶常系数齐次线性微分方程的解法。 难点： 二阶常系数非齐次线性微分方程的解法。 教学方法： 讲练结合 教学时数： ６课时 教学进程： 二阶微分方程的一般形式是．本节讨论可降阶的二阶微分方程和二阶常系数线性微分方程的解法． 一、可降阶的二阶微分方程 这类二阶微分方程的特点是，经过适当的变换将二阶微分方程化为一阶微分方程，然后用前一节介绍的方法来求解． 1．型 方程 （1） 是最简单的二阶微分方程，它的特点是仅是的函数，只要把当作新的未知函数，就得到一个一阶微分方程，即 两边积分，得 ，两边再积分，即连续积分两次就能得到方程（1）的通解． 同理，对于方程 ， （2） 只要连续积分次，即可得到含有个任意常数的通解． 例１　求方程的通解． ２．型 方程 　　　　　　　　　　 　(3) 的右边不显含未知函数．如果设， 那么　　　　　　　　 因而方程(3)就变为　　 ． 这是一个关于变量的一阶微分方程，可以用前一节所介绍的方法求解． 例2 解微分方程． 例３ 求微分方程满足初始条件的特解． 解 所给方程是型的．设，代入方程并分离变量后， 有　　　　　　　　　 ． 两端积分，得　　　 　　， 即 　　　　　　　　　 　． 由条件，得， 所以 　　　　　　　　 ． 再积分，得　　 　　 　　． 又由条件得，于是所求的特解为 　　　 ． 对于二阶微分方程的特解，通常在积分后出现第一个任意常数时，就用初始条件把它求出来，这样可以简化后面的运算步骤．如果求出了通解后，再用初始条件确定任意常数，可能会使运算十分繁琐． ３．型 方程 　　　　　　　　(4) 中不显含自变量．为了求出它的解，我们令，利用复合函数的求导法则，把化为对的导数， 即　　　　　　　　　　 ． 于是方程(4)就变为　　 ． 这是一个关于变量的一阶微分方程．设它的通解为 　　　　　　　　， 分离变量并积分，得方程(4)的通解为 　　　　　　 　　 例４ 求微分方程　 的通解． 解 方程不显含自变量，设，则，代入方程，得 ． 如果，那么约去并分离变量，得 　　　　　　　　　 ． 两端积分并进行化简，得 　 或 ． 再一次分离变量并积分，得 　　　　　　　 或 ． 如果，那么立刻可得，显然它也满足原方程．但已被包含在解 中了(令，就可得到它)．所以方程的通解为 ． 例5 求微分方程 满足初始条件，的特解． 二、二阶常系数线性微分方程 定义１ 方程 ． 　　 　　(5) 叫做二阶常系数线性微分方程，其中、是常数．当时，方程（5）叫做二阶常系数线性齐次微分方程．当时，方程叫做二阶常系数线性非齐次微分方程． 下面来讨论二阶常系数线性微分方程的解法． 二阶常系数线性齐次微分方程的通解 先讨论二阶常系数线性齐次微分方程 ． (6) 的解的结构． 定理1 如果函数与是方程(6)的两个解，那么 (7) 也是方程(6)的解，其中是任意常数． 这个定理表明了线性齐次微分方程的解具有叠加性．叠加起来的解(7)从形式上看含有与两个任意常数，但它还不一定是方程(6)的通解． 例如，和都是方程的解，把、叠加为(7)式的形式，即 其中．由于只有一个独立的任意常数，所以它不是二阶微分方程的通解． 那么在什么情况下(7)式才是(6)式的通解呢？为了解决这个问题，下面给出函数线性相关与线性无关的定义： 对于两个都不恒等于零的函数与，如果存在一个常数使，那么把函数与叫做线性相关；否则就叫做线性无关． 显然，对于两个线性相关的函数和，恒有 ． 因此当时，如果不恒等于一个常数，则与就是线性无关的． 例如，函数与，因为当时， ， 所以与是线性相关的． 又如，函数与，因为当时， 常数， 所以函数与是线性无关的． 有了两个函数的线性相关与线性无关的概念后，就有下面关于二阶常系数线性齐次微分方程(6)的通解结构定理： 定理2 如果函数与是常系数线性齐次微分方程(6)的两个线性无关的特解，那么 就是方程(6)的通解，其中是任意常数． 例如，与是二阶常系数线性微分方程 的两个特解，而与是线性无关的，所以就是方程的通解． 因此，求二阶常系数线性齐次微分方程(6)的通解，关键在于求出方程的两个线性无关的特解和．我们知道