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《命题与证明》知识讲解 宋老师 【学习目标】 1．了解的含义，会区分命题的题设（条件）和结论会判断一个命题的真假2．．要点诠释：要点诠释：要点诠释：三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°．三角形内角和定理的应用主要用在求三角形中角的度数．直接根据两已知角求第三个角；依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角．三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角．三角形共有六个外角，其中有公共顶点的两个相等，因此共有三对．（）三角形的外角性质：三角形的外角和为360°．三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角．（）若研究的角比较多，要设法利用三角形的外角性质将它们转化到一个三角形中去． 在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题.其中一个命题是另一个命题的逆命题. 把一个命题的条件与结论互换，就得到它的逆命题，我们能够判断一个命题及其它的逆命题的真假.证明一个命题是假命题，只需举出一个反例就可以了. 要点诠释： 【典型例题】类型一、逆命题与逆定理1. 下列命题是真命题的是（　　） A．如果|a|=1，那么a=1 B．有两条边相等的三角形是等腰三角形 C．如果a为实数，那么a是有理数 D．相等的角是对顶角.； 【】【】【变式】（2016春?东平县期中）下列句子中，不是命题的是（　　） A．三角形的内角和等于180° B．对顶角相等 C．过一点作已知直线的平行线 D．两点确定一条直线 【答案】C． C不是可以判断真假的陈述句，不是命题； A、B、D均是用语言表达的、可以判断真假的陈述句，都是命题． 故选C．2.下列命题中，逆命题正确的是（ ） A.对顶角相等【】【变式】试将下列各个命题的题设和结论相互颠倒，得到新的命题，并判断这些命题的真假．(1)对顶角相等；(2)两直线平行，同位角相等；(3)若a=0，则ab=0；(4)两条直线不平行，则一定相交；【答案】(1)对顶角相等(真)；相等的角是对顶角(假)；　　(2)两直线平行，同位角相等(真)；同位角相等，两直线平行(真)；(3)若a=0，则ab=0(真)；若ab=0，则a=0(假)；(4)两条直线不平行，则一定相交(假)；两条直线相交，则一定不平行(真)；3. 对于同一平面内的三条直线a、b、c，给出下列五个论断：a∥b；b∥c；a⊥b；a∥c；a⊥c，请你以其中两个作为题设，另一个作为结论，用“如果…，那么…”的形式，写出两个正确的命题．同一平面内，根据垂直于同一直线的两直线平行；平行于同一直线的两直线平行，则可由得到；由得到．解：如果a⊥b，a⊥c，那么b∥c；如果a∥b，b∥c，那么a∥c．本题考查了命题：判断事物的语句叫命题，正确的命题叫真命题，错误的命题为假命题；命题分为题设与结论两部分．也考查了平行线的性质．类型二、证明举例 4. （2015春?姜堰市期末）如图，直线AB和直线CD、直线BE和直线CF都被直线BC所截．AB⊥ BC、CD⊥ BC，BE∥ CF，，求证：∠ 1=∠ 2． 【思路点拨】由于AB⊥ BC、CD⊥ BC得到AB∥ CD，利用平行线的性质得到∠ ABC=∠ DCB，又BE∥CF，则∠ EBC=∠ FCB，可得到∠ ABC﹣∠ EBC=∠ DCB﹣∠ FCB，即有∠ 1=∠ 2． 【】证明：∵ AB⊥ BC、CD⊥ BC， ∴AB∥ CD， ∴ ∠ ABC=∠ CB， 又∵ BE∥ CF， ∴ ∠ EBC=∠ FCB， ∴ ∠ ABC﹣∠ EBC=∠ DCB﹣∠ FCB， ∴ ∠ 1=∠ 2． 【变式】 【答案】5.如图，已知三角形ABC的三个内角平分线交于点I，IH⊥BC于H，试比较∠CIH和∠BID的大小． 【思路点拨】根据角平分线的定义、三角形内角和定理可知∠BAD+∠ABI+∠HCI=90°．又因为∠BAD+∠ABI=∠BID，90°-∠HCI=∠CIH，所以∠BID=∠CIH． 【答案】∠BAC，∠ABI=∠ABC，∠HCI=∠ACB． ∴∠BAD+∠ABI+∠HCI =∠BAC+∠ABC+∠ACB =（∠BAC+∠ABC+∠ACB） =×180° =90°． ∴∠BAD+∠ABI=90°-∠HCI． ∵IH⊥BC， ∴∠IHC=90° ∴90°-∠HCI=∠CIH， ∴∠CIH=∠BAD+∠ABI ∵∠BID=∠BAD+∠ABI（三角形的一个外角等于与其不相邻的两个内角的和） ∴∠BID=∠CIH． 【总结升华】考查了角平分线的定义及三角形内角