圆中典型计算题阴影部分面积求法.docVIP

圆中典型计算题（三） 阴影部分面积求法 ?例10.?如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，点O在斜边AB上，半径为2cm的圆O过点B，切AC边于点D，交BC边于点E。求由线段CD、CE及弧DE围成的阴影部分的面积。 ????分析：这是求一个不规则图形的面积，应设法转化为规则图形的面积的和或差来计算，我们可以采用割补法，如图所示，连接OD，OE，利用梯形ODCE的面积与扇形ODE的面积的差，可以求得阴影部分的面积。 ????解：连接OD，OE ????∵AD切圆O于点D，∴OD⊥AC ????∵∠C=90°，∴四边形ODCE是直角梯形 ????过点E作EF⊥OD于F ????在Rt△ABC中 ????∵∠A=30°，∴∠B=60° ????则∠OEB=∠B=60° ????∴∠EOD=60°，∠OEF=30° ????在Rt△OEF中，∠OEF=30°，OE=2cm ????∴OF=1cm， ????∴ ????∴ ????即阴影部分的面积是 ????说明：求与圆有关的阴影部分的面积问题，常用的方法有：“公式法”、“和差法”、“割补法”、“等积代换法”、“几何变换法”等。主要思路是将不规则图形的面积转化为规则图形的面积。 ? ??例11.?如图所示，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，分别以B、C为圆心，2为半径画弧，求阴影部分的面积。 ????分析：仔细观察图形，会发现这是两个扇形（扇形BAE与扇形CAD）重叠的一个组合图形，因此我们可以用如下方法来求解。 ????解法1：如图所示，过点A作AF⊥BC，垂足为F，则阴影部分面积=扇形BAE的面积+扇形CAD的面积－△ABC的面积。 ????即 ????????? ????解法2：如图所示，过点A作AF⊥BC，垂足为F，以点F为旋转中心，分别将阴影ADF部分逆时针旋转90°，将阴影AEF部分顺时针旋转90°，则阴影部分面积=扇形ABC的面积－△ABC的面积。过程略。 ????解法3：我们还可以采用代数方法，利用图形中面积的和差所隐含的等量关系来构造方程。如图所示，设阴影部分面积为X，每一处空白部分面积为Y，因此有 ????解这个方程组，得