圆的标准方程与一般.docVIP

《圆的标准方程与一般方程》发表在《学习报》2010-2011第18期总第1130期 第2版 2010年10月29日国内统一刊号CN14-00708/(F) 邮发代码：21-79 圆的标准方程与一般方程(轨迹)叫圆． 圆心为（a，b），半径为r的圆的标准方程为，方程中有三个参量a、b、r，因此三个独立条件可以确定一个圆． 圆的一般方程为，其中，半径是，圆心坐标是．圆的一般方程体现了圆方程的代数特点：x2、y2项系数相等且不为零，没有xy项．根据条件列出关于D、E、F的三元一次方程组，可确定圆的一般方程． 若，则以线段AB为直径的圆的方程是；经过圆与圆的交点的圆系方程是： ，若λ=－1，可得两圆公共弦所在的直线方程；经过直线与圆的交点的圆系方程是：． 例1 (1)求经过点A(5,2),B(3,2),圆心在直线2x─y─3=0上的圆的方程；(2)求以O(0,0),A(2,0),B(0,4)为顶点的三角形OAB外接圆的方程． 分析：根据第(1),(2)两小题的已知条件不同的情况，第(1)题可以选用圆的标准方程，第(2)题选用圆的一般方程． 解：(1)设圆心P(x0,y0)，则有, 解得 x0=4, y0=5, ∴半径r=, ∴所求圆的方程为(x─4)2+(y─5)2=10． (2)采用一般式,设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，将三个已知点O(0,0),A(2,0),B(0,4)的坐标代入列方程组：，解得 D=─2, E=─4, F=0. ∴ 三角形OAB外接圆的方程为 ． 例2 一圆与y轴相切，圆心在直线x－3y=0上，且直线y=x截圆所得弦长为2，求此圆的方程. 分析： 利用圆的性质：半弦、半径和弦心距构成的直角三角形． 解：因圆与y轴相切，且圆心在直线x－3y=0上， 故可设圆方程为. 又因为直线y=x截圆得弦长为2，则有+=9b2，解得b=±1. 故所求圆方程为 或. 例3 已知圆C的圆心在直线x─y─4=0上,并且通过两圆C1:x2+y2─4x─3=0和C2:x2+y2─4y─3=0的交点．(1)求圆C的方程; (2)求两圆C1和C2相交弦的方程． 解：(1)因为所求的圆过两已知圆的交点,故设此圆的方程为：x2+y2─4x─3+λ(x2+y2─4y─3)=0,（），即 (1+λ)(x2+y2)─4x─4λy─3λ─3=0, ∴ =0,圆心为 (,), 由于圆心在直线x─y─4=0上, ∴──4=0, 解得λ=． 所求圆的方程为：x2+y2─6x+2y─3=0． (2) 在方程x2+y2─4x─3+λ(x2+y2─4y─3)=0中令λ=-1，即将圆C1和圆C2的方程相减得：x+y=0，此即相交弦的方程． 例4 求过直线2x+y+4=0和圆x2+y2+2x─4y+1=0的交点,且面积最小的圆的方程. 解法一：因为通过两个交点的动圆中，面积最小的是以此二交点为直径端点的圆，于是 解方程组，得交点A(), B(─3,2), 利用圆的直径式方程得: (x+)(x+3) +(y─)(y─2)=0, 化简整理得 (x+)2+(y─)2=. 解法二: (运用曲线系方程)设过直线与用圆的交点的圆的方程为 x2+y2+2x─4y+1+λ(2x+y+4)=0, 即 (x+λ+1)2+(y+)2=. 要使圆面积最小，必须半径最小， 由于r==(=, 当且仅当=8/5时，r最小. 故所求圆的方程是 (x+)2+(y─)2=． 在解决求圆的方程这类问题时，应当注意以下几点：（1）确定圆方程首先明确是标准方程还是一般方程；（2）根据几何关系（如相切、弦长等）建立方程求得a、b、r或D、E、F；（3）对于待定系数法的应用，解答中要尽量减少未知量的个数．