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矩阵方程的求解问题 白秀琴 （平顶山工业职业技术学院，基础部，河南 平顶山 467001） 摘要：主要考察了矩阵方程的求解问题，给出了一般矩阵方程当系数矩阵满足不同条件时的两种求解方法。 关键词：矩阵；矩阵的逆；矩阵方程 矩阵是线性代数中的最重要的部分，它贯穿于线性代数的始终，可以说线性代数就是矩阵的代数，矩阵是处理高等数学很多问题的有力工具。矩阵方程是矩阵运算的一部分，这里我们主要讨论如何求解矩阵方程的问题。掌握简单的矩阵方程的求法，对于求解复杂的矩阵方程有很大帮助。 简单的矩阵方程有三种形式：如果这里的、都是可逆矩阵，则求解时需要找出矩阵的逆，注意左乘和右乘的区别。它们的解分别为： 例如，求解方程先考察是否可逆，如果可逆时，方程两边同时左乘，得即这里要注意只能左乘不能右乘，因为矩阵的乘法不满足交换律。同样，对于方程只能右乘，得即而对于方程只能是左乘而右乘，得即 看下面解矩阵方程例题： 例1： 解：先求出，则则 例2： 解：先求出，则则 例3： 解：先求出，则 则 例4：解矩阵方程其中，是三阶单位方阵。 解：移项，将矩阵方程化为标准形式：由于可逆，两边同时左乘，得 注：如果按计算，需要先求，再求，最后相乘，计算量大且易出错。因此应先尽量化简矩阵方程，再计算求解。 当矩阵方程中的、不是方阵或者是不可逆的方阵时，前面的方法就不能用了。这时，我们需要用待定元素法来求矩阵方程。设未知矩阵的元素为，即，然后由所给的矩阵方程列出所满足的线性方程组，通过解线性方程组求出所有元素，从而得到所求矩阵。 例5：解矩阵方程 解：利用元素法，先确定的行数等于左边矩阵的行数的列数等于积矩阵的列数，则是的矩阵。 设，则 即，于是得方程组 解得，所以，其中为任意实数。 例6：解矩阵方程其中， 由于，所以是不可逆矩阵，需要用元素法求解。 设则，即 比较第一列元素得，解得 同样，比较第二、三列元素可得对应方程组，分别解得 ，所以可得 ，其中是任意实数。 总之，对于矩阵方程，当系数矩阵是方阵时，先判断是否可逆。如果可逆，则可以利用左乘或右乘逆矩阵的方法求未知矩阵，如果方阵不可逆或是系数矩阵不是方阵，则需要用待定元素法通过解方程确定未知矩阵。 参考文献： [1]赵树塬。线性代数[M]。北京：中国人民大学出版社，1997 [2]李君文，线性代数理论与解题方法[M]。长沙 ：湖南大学出版社，2002